Start gjerne aktiviteten med å snakke med elevene om hva en hypotese er, og at en viktig del av matematikken handler om å overbevise oss selv og andre om ulike hypoteser stemmer. Vis følgende hypotese på Smartboard (se Notebook-fil):

Tall i 6-gangen er partall

Snakk med elevene om at siden 6-gangen bare fortsetter og fortsetter, vil det være vanskelig å sjekke om hypotesen stemmer eller ikke for alle tall i 6-gangen. Vi må derfor finne en måte å argumentere på som gjelder alle tallene i 6-gangen, men uten at vi trenger å sjekke hvert enkelt. For å få til det kan det være lurt å representere tallene ved en tegning. Hvis elevene ikke er vant med å representere tall og egenskaper ved tall ved tegning, kan det være lurt å tegne opp noen mengder som representerer tall i 6-gangen på tavla, for eksempel mengden 18, og diskutere hvordan 18 elementer kan organiseres for å vise at det er i 6-gangen.

Organiser elevene i par eller små grupper og del ut et eksemplar av oppgavearket «Tall i 6-gangen er partall» til hver gruppe.

Det er naturlig å starte en undersøkelse av hypotesen med å teste den på noen eksempler. På den måten får man prøvd ut om man har forstått innholdet i hypotesen. Mange elever vil lage en liste over de første tallene i 6-gangen. Tallene på lista kan de gjenkjenne som partall, eller de kan bruke en definisjon av partall til å vise at hvert enkelt av dem er et partall. Elevene kan også oppdage et mønster i tallene de skriver opp, for eksempel at de alltid slutter på 0, 2, 4, 6 eller 8.

Selv om å teste på eksempler kan gjøre oss mer overbevist om at en hypotese er sann, er det er viktig at elevene ikke får inntrykk av at å teste på noen talleksempler er et tilstrekkelig argument for å kunne konkludere med at alle tall i 6-gangen er partall. Anerkjenn at elevene har funnet ut at hypotesen er sann for de eksemplene de har testet, men still spørsmål om hvordan de vet at det vil gjelde for tall de ikke har testet. Spør elevene hva det betyr å være et tall i 6-gangen, og hva det betyr å være et partall, og oppfordre dem til å bruke en tegning i argumentet sitt.

Start diskusjonen med å få innspill fra elevene. Det er gjerne utfordrende for elevene å begrunne hvorfor de tror hypotesen stemmer, utover å vise til eksempler. Det kan derfor være fint å la elevpar som ikke kom lenger enn dette i argumentet sitt, starte med å fortelle om hva de har gjort, og hvor de fikk problemer. La deretter elevpar som har kommet lenger i argumentet sitt, vise hvordan de har argumentert. Hvis ingen av elevene har kommet helt frem til et gyldig bevis arbeider dere sammen med å komme helt i mål til slutt.

De sentrale ordene i hypotesen er «tall i 6-gangen» og «partall». Spør elevene hva det betyr å være et tall i 6-gangen. Her ønsker du å få frem at tall i 6-gangen kan tenkes på som grupper med 6 i hver, eller som gjentatt addisjon av 6-ere. For eksempel er 18 det samme som tre grupper med 6, eller summen av tre seksere, altså 6 + 6 + 6. Bruk gjerne en tegning som fremhever strukturen. Sett også ord på hva det vil si å være et partall. Her er det to definisjoner som kan brukes, enten kan man si at et partall er et tall som kan deles i par, eller så kan man si at et partall er et tall som kan deles i to like store (heltalls)mengder. Bruk så tegningen og klassens definisjon av partall til å vise at tallet 6 er et partall, og hvordan det da følger at et tall som består av grupper med seksere, også blir partall.

Avslutt aktiviteten med å poengtere for elevene at å sjekke at ett eller flere tall i 6-gangen er et partall, ikke er tilstrekkelig for å bevise at alle tall i 6-gangen er partall. Ved å undersøke hvorfor et tall som består av seksere blir et partall, blir vi overbevist om at det samme vil gjelde for alle tall i 6-gangen, også dem vi ikke har sjekket.

Arbeidsark: Tall i 6-gangen er partall (PDF)

Notebook: Tall i 6-gangen er partall.

Løsningen tar utgangspunkt i en definisjon og en tilhørende strukturell tegning av tall i 6-gangen, og av partall. To mulige illustrasjoner er vist.

Figur 1 gir et generisk eksempel ut fra tallet 24 i 6-gangen og en definisjon av partall som tall som kan deles i par. Tallet 24 er illustrert som fire grupper med seks i hver gruppe. Hver seksergruppe er delt i tre par, noe som viser at 24 er et partall. Dersom det var et annet tall i 6-gangen vi hadde sett på, ville vi hatt flere grupper med seksere. Siden hver av seksergruppene kan deles i tre par, vil også tallet som helhet kunne deles i par.

Figur 2 viser et generelt argument, der en definisjon av partall som tall som kan deles i to like mengder brukes. Et tall i 6-gangen er illustrert som et antall rader med seks elementer i hver rad. Hver rad med seks elementer kan deles i to like deler. Figuren viser hvordan totalmengden også kan deles i to like mengder (vertikal strek) ved å fordele tre elementer fra hver rad til hver mengde. Dette er uavhengig av hvor mange rader med seks elementer vi har.

Under følger en samtale fra et 6. trinn.

Lærer: Da må alle følge med på tavla. Jeg vil se alle ansikter. Ja, hva tror dere. Denne påstanden, eller hypotesen som vi også kan kalle det. At alle tall i 6-gangen er partall. Eller jeg vet ikke om man kunne sagt det på en annen måte, kanskje at alle svar i 6-gangen blir partall. Om man ganger noe med seks at det skal bli partall. Ivar, hva snakket dere om på gruppen? Tror dere at hypotesen stemmer?

Ivar: Ja.

Lærer: Ja? Hvorfor?

Ivar: Fordi, siden 6 + 6 –. Nei jeg vet ikke.

Lærer: 6 + 6 blir jo 12 da. 2 ganger 6 blir 12, er det et partall?

Ivar: Ja.

Lærer: Jeg skriver 6 ganger 2, jeg [skriver regnestykket opp på tavla]. Det blir 12, og det er jo et partall. Det er jo et bevis da på at tall i 6-gangen kan være partall. Men dette er litt tynt grunnlag. Å si at alle tall i 6-gangen er partall ved å se på kun ett eksempel. Men det er en god start, Ivar, veldig god start. Eivind?

Eivind: Jeg vet ikke, men det kan hende at det ikke blir partall.

Lærer: Det kan hende at det ikke blir partall. Men du er litt usikker?

Eivind: Ja.

Lærer: Jeg spurte jo deg i sted da vi diskuterte om du oftest tror det blir oddetall eller partall. Da sa du at det oftest ble partall, men at det kan skje at det blir oddetall. Linda?

Linda: Jeg vet i alle fall at de tallene jeg vet i 6-gangen er partall.

Lærer: Ja, du kan ikke komme på noen eksempler hvor svaret ikke er et partall?

Linda: Nei.

Lærer: Nei. Det som er poenget er da, er jo å prøve å bevise dette her på et vis. Og da holder det egentlig ikke å kun skrive opp ett stykke. Eller det er jo et slags bevis det også, men vi vil jo bevise at det stemmer alltid. Jeg kan jo vise da at en måte å bevise på er å tegne. Det kan man gjøre i matematikk. Så om jeg skal tegne opp 6-gangen [tegner opp seks sirkler på tavla på en rekke]. Her er da én ganger seks. Kan jeg bevise at dette her er et partall på noe vis? Hvordan ville dere vist dette til en 2.klassing da. At 6 er et partall? Hvordan ville dere tegnet det opp? Er det ingen som har en formening? Dere snakker om at –. Anniken?

Anniken: Deles i to, kanskje?

Lærer: Ja. Del det i to [tegner en strek på tavla slik at det er tre sirkler på hver side]. Da skal det være like mye på begge sider, det sa dere i sted ikke sant? Det skal også være et heltall på begge sider. Det er det her. Og da ser dere at uansett hvor mange ganger jeg plasserer seks oppover her, [tegner nye rader med seks sirkler, tre på hver side av streken], jeg kan holde på med dette her i det uendelige. Det vil alltid kunne deles i to, og det vil bli like mange på hver side. Og det er et bevis på at tall i 6-gangen alltid vil være partall. Uansett, altså. Så det er litt poenget da når man skal bevise. Tegning kan være en mulig måte å bevise på.

Elevene i denne samtalen kommer med eksempler på tall i 6-gangen som er partall, og Linda sier at det stemmer for alle tall i 6-gangen som hun kan. Læreren anerkjenner elevenes innspill, men løfter samtidig frem tvilen – kan man være sikker på at det alltid vil bli partall? Læreren tilbyr en illustrasjon av tallet 6 som seks sirkler og etterspør hvordan egenskapen partall kan komme til uttrykk i tegningen. Å ta i bruk en definisjon av partall er helt sentralt for å bevise at hypotesen gjelder generelt, og dette er gjerne lettere i en tegning enn når man ser på tallenes symbolske uttrykksform. Anniken tar i bruk definisjonen «partall er (hel)tall som kan deles på to uten noen rest», som læreren bygger videre på.  
 

Last ned utskriftsversjon av nettsiden (PDF)