Å gange med fem – en regnestrategi i multiplikasjon – Aktiviteter – Matematisk argumentasjon i grunnskolen
Å gange med fem – en regnestrategi i multiplikasjon
Tid: 45–60 minutter.
I denne aktiviteten blir elevene presentert for en rekke par av multiplikasjonsstykker der det ene produktet er halvparten av det andre. Elevene skal sette ord på mønsteret, gi eksempler på flere par av regnestykker som følger samme mønster, og argumentere for at hypotesen de har kommet frem til, stemmer. Mønsteret kan beskrives som «Når man multipliserer et tall med 5, blir svaret halvparten så stort som når man multipliserer det samme tallet med 10».
Hensikt
- undersøke og finne mønster i regnestykkene
- formulere en hypotese om en regnestrategi i multiplikasjon
- bruke passende representasjoner av multiplikasjon til å argumentere for hvorfor hypotesen er gyldig
- diskutere når å «gange med 10 og dele på 2» er en effektiv regnestrategi i multiplikasjon
Gjennomføring
Introduser aktiviteten ved å si at elevene skal undersøke en sammenheng i multiplikasjon. Vis oppgaven Mønster i multiplikasjon på Smartboard (se Notebook-fil) og fortell elevene at de skal beskrive sammenhenger de oppdager i de gitte regnestykkene (lage en hypotese). De skal også gi en forklaring (et argument) som kan overbevise andre, og som forklarer hvorfor hypotesen stemmer. Minn elevene på at når de skal jobbe med å argumentere, vil det være nyttig å tenke på multiplikasjon ved hjelp av noen tegninger eller modeller. Hva kan det være? Her er hensikten bare å få frem noen ideer, så du trenger ikke å bekrefte eller avkrefte elevenes forslag.
Del ut ett oppgaveark til hver gruppe av elever.
Gå rundt og snakk med elevene mens de arbeider sammen. Spør hvilket mønster de har funnet, og hvordan de fant det. Hvordan tenker de når de skal komme med flere eksempler?
En utfordring elevene kan møte på, er at de føler at hypotesen er opplagt sann, fordi 10 er det dobbelte av 5 (eller 5 er halvparten av 10), og at det derfor ikke er behov for noe ytterligere argument. Da kan du bruke en annen regneart for å vise at det ikke er tilstrekkelig å bare se på relasjonen mellom 5 og 10. For eksempel vil ikke regnestykket 10 + 7 ha dobbelt så stort svar som regnestykket 5 + 7, selv om også her er 10 dobbelt så stort som 5. Det er altså noe ved selve regneoperasjonen multiplikasjon som gjør at hypotesen er sann i disse tilfellene.
Minn elevene på ulike representasjoner og tankemodeller som kan være nyttig å bruke i arbeid med multiplikasjon, så som å tenke på 10 · 7 som ti sjuere (gjentatt addisjon), som ti poser med sju epler i hver pose (like grupper-modell), eller som arealet av et rektangel med sidelengder ti og aju (arealmodell).
Oppsummer oppgaven felles. Start med å få frem noen av elevenes forslag til nye regnestykker, og skriv dem på tavla. Hva er likt og ulikt i disse regnestykkene? Kom frem til en felles hypotese. Vær forberedt på at du kanskje må hjelpe elevene for å få hypotesen tilstrekkelig presis. Et forslag kan være «Når vi ganger et tall med 5, så blir svaret halvparten så stort som når vi ganger (det samme tallet) med 10» eller «Når vi multipliserer et tall med 10, blir svaret dobbelt så stort som når vi multipliserer (det samme tallet) med 5».
Ta utgangspunkt i en representasjon som illustrerer ett av regnestykkene. I figuren under har vi tolket regnestykkene 5 · 8 og 10 · 8 som henholdsvis fem og ti poser med åtte brikker i hver pose (se Notebook-fil). Illustrasjonen fremhever at ti poser med åtte brikker kan splittes i to (like) deler med fem poser med åtte brikker i hver del. Ti poser med åtte i hver er med andre ord dobbelt så mye som fem poser med åtte i hver, noe som viser at 10 · 8 er dobbelt så mye som 5 · 8.
Få frem at argumentet forklarer hvorfor hypotesen er sann, ved å ta utgangspunkt i en representasjon der de sentrale egenskapene ved tallene (at 5 er halvparten av 10) og regneoperasjonen (multiplikasjon) kommer tydelig frem. Tegningen og argumentet kan lett tilpasses til andre par av regnestykker med 5 og 10 som faktor, det er bare innholdet i posene som endres.
Spør elevene om dette mønsteret kan være nyttig til noe, om vi kan bruke det for eksempel i hoderegning. Poenget er å få frem at dette kan være en lur strategi å bruke når vi skal multiplisere et flersifret tall med 5, da det gjerne er mindre krevende å multiplisere med 10 (legge til 0) og halvere svaret vi da får. Du kan også utfordre elevene på om det er andre tall enn 5 og 10 som vil gi et lignende mønster. Oppsummer aktiviteten ved å fortelle at vi nå har undersøkt gyldigheten til sammenhengen vi har funnet, og på denne måten vist at hypotesen vår stemmer. Vi har også funnet en strategi som er effektiv for noen regnestykker med multiplikasjon.
Ressurser
Som vist tidligere kan vi representere denne strategien ved hjelp av poser med brikker i. Det er også mulig å bruke et rutenett som representasjon, hvor vi ser på multiplikasjon som et areal. Her ser du et eksempel på hvordan det kan illustreres på den måten.
I arbeidet over har elevene oppdaget mønsteret i regnestykkene. De uttrykker hypotesen som at «det ene svaret er halvparten av det andre». De kan utfordres videre til å også sette ord på relasjonen mellom faktorene i de to regnestykkene.
Når elevene skal argumentere for hvorfor hypotesen stemmer, viser de mer inngående hvordan regnestykkene er relatert, ved å peke på at 5 er halvparten av 10. Ved å vise til at i addisjonsstykker med tallene 5 og 10 (for eksempel 8 + 5, og 8 + 10), er det slik at det ene svaret er halvparten av det andre, kan elevene bli klar over mangler ved argumentet. Elevene kan oppfordres til å bruke en tegning eller en situasjon som passer til multiplikasjonsstykket 10 · 8 for å komme videre mot et generisk eksempel.
Mer om «Å gange med fem – en regnestrategi i multiplikasjon»
Arbeid med denne oppgaven kan være starten på en god regnestrategi for eksempel når man skal regne ut 483 · 5. Her kan man starte med å multiplisere 483 med 10 og få 4830, for så å halvere svaret til 2415. Å multiplisere med 10 og å halvere er gjerne mindre krevende enn å multiplisere med 5, og det kan være en inngang til den mer generelle strategien om å multiplisere og dividere faktorene med samme tall, slik som for eksempel 25 · 36 = 100 · 9, der vi har multiplisert og dividert faktorene med 4.
Når vi argumenterer for gyldigheten til en regnestrategi, arbeider vi med hypoteser som omhandler et uendelig antall tilfeller. Hypotesen kan testes på ulike eksempler, men det er umulig å teste den for alle tilfeller. En egnet bevisform for denne typen hypoteser på barnetrinnet er generisk eksempel, som du kan lese mer om her. I et generisk eksempel bruker man definisjoner og egnede strukturelle representasjoner til å gå i dybden på et konkret eksempel. Man undersøker ikke bare at hypotesen stemmer, men også hvorfor den stemmer i dette eksempelet. Ved å sette ord på hva som blir likt eller forskjellig dersom en endrer på eksempelet, er det mulig å generalisere argumentet til å gjelde for uendelig mange tilfeller.
Denne aktiviteten kan man enkelt justere til andre sammenhenger og regnestrategier. Det er også mulig å bruke sammenhenger og strategier i divisjon eller brøk. Hensikten er å jobbe godt med en sammenheng og argumentere for den.