Start gjerne aktiviteten med å snakke med elevene om hva en hypotese er, og at en viktig del av matematikken handler om å overbevise oss selv og andre om ulike hypoteser stemmer. Vis følgende hypotese på Smartboard (se Notebook-fil).

Summen av tre påfølgende tall er delelig med tre

Finn gjerne et eksempel på tre påfølgende tall, og sjekk sammen med elevene at summen av dem blir delelig med tre. Spør elevene om de tror det alltid blir sånn? Si at vi må utforske dette nærmere for å finne ut om hypotesen alltid stemmer.

Fortell elevene at denne hypotesen handler om mange tall, og at det derfor kan være vanskelig å sjekke om hypotesen stemmer for alle tilfeller av tre påfølgende tall. Vi må derfor finne en måte å argumentere på som gjelder alle tilfeller av tre påfølgende tall, men uten at vi trenger å sjekke alle. For å argumentere for dette kan vi bruke tall, ord eller tegning.

Organiser elevene i par eller små grupper og del ut et eksemplar av oppgavearket «Summen av tre påfølgende tall er delelig med tre» til hver gruppe.

Det er naturlig å starte en undersøkelse av hypotesen med å teste den på noen eksempler. På den måten får man prøvd ut om man har forstått innholdet i hypotesen. Mange elever vil starte å sjekke om hypotesen stemmer for noen tilfeller av tre påfølgende tall. For små tall kan de gjenkjenne at summen er delelig med tre, eller de kan finne ut om summen er delelig med tre ved å dele opp tallet.

Selv om å teste på eksempler kan gjøre oss mer overbevist om at en hypotese er sann, er det viktig at elevene ikke får inntrykk av at å teste på noen talleksempler er et tilstrekkelig argument for å kunne konkludere med at hypotesen alltid stemmer. Anerkjenn at elevene har funnet ut at hypotesen er sann for de eksemplene de har testet, men still spørsmål om hvordan de vet at det vil gjelde for tall de ikke har testet. For å få elevene til å se på strukturen kan man spørre om det går an å se at tre påfølgende tall må bli delelig med tre? Hva betyr det egentlig at tre tall er påfølgende? Oppfordre elevene til å bruke en tegning i argumentet sitt, for å se om dette kan hjelpe dem til å se hvorfor summen av tre påfølgende tall blir delelig med tre.

Start diskusjonen med å spørre elevene hva de har funnet ut om hypotesen, mener de den stemmer alltid, aldri eller noen ganger? Det er gjerne utfordrende for elevene å begrunne hvorfor de tror hypotesen stemmer, utover å vise til talleksempler. Det kan derfor være fint å la elevpar som ikke kom lenger enn dette i argumentet sitt, starte med å fortelle om hva de har gjort. Gå deretter videre til elevpar som har argumentert for at hypotesen stemmer ved å se på strukturen til de tre påfølgende tallene.

De sentrale ordene i hypotesen er «tre påfølgende tall» og «delelig med tre». Spør elevene hva det betyr å være tre påfølgende tall. Her ønsker du å få frem at tallene øker med én. Her kan det være fint å bruke et eksempel som fremhever strukturen, for eksempel 99 + 100 + 101. Hvordan kan vi finne ut om summen av disse er delelig med tre? Sett også ord på hva det vil si at et tall er delelig med tre. Her kan man si at det er tall som kan deles i tre like store grupper. Bruk eksempelet til å vise at vi kan flytte 1 fra 101 til 99, og at vi da får tre like store grupper.

For å se på hvorfor hypotesen alltid er sann vil vi bruke et generisk eksempel. Her bruker vi eksempelet 4 + 5 + 6. Ved å tegne opp tårn med brikker for de forskjellige mengdene kan vi se at vi får tre like høye tårn når vi flytter over en brikke fra det høyeste til det laveste. Da ser vi at summen av de tre tallene må bli delelig med tre. Fremhev at det blir sånn uansett hvor høye tårn vi har. Vi kan derfor si at summen av tre påfølgende tall blir delelig med tre, uansett hvilke tall vi velger.

Avslutt aktiviteten med å poengtere for elevene at å sjekke at ett tilfelle hvor summen av tre påfølgende tall er delelig med tre, ikke er tilstrekkelig for å bevise at alle tilfeller hvor summen av tre følgende tall er delelig med tre. Men ved å undersøke hvorfor summen av tre påfølgende tall er delelig med tre, blir vi overbevist om at det samme vil gjelde for alle tilfeller av tre påfølgende tall, også dem vi ikke har sjekket.

Arbeidsark: Summen av tre påfølgende tall (PDF)

Notebook: Summen av tre påfølgende tall

Løsningen tar utgangspunkt i en strukturell tegning av tre påfølgende tall.

Figur 1: Illustrasjon av tre påfølgende tall, 4, 5 og 6.

Figur 1 gir et eksempel på tre påfølgende tall. Tallene 4, 5, og 6 er illustrert ved brikker som er strukturert i tårn. Her ser vi tydelig at det blir én brikke mer for hvert tall, og på denne måten at det er tre påfølgende tall figuren viser. Dersom det var tre andre påfølgende tall vi hadde sett på, ville vi fått samme oppbygning med én brikke til for hvert tall.

Figur 2: Illustrasjon av tre påfølgende tall, når vi har flyttet over en brikke.

Figur 2 viser de samme tre påfølgende tallene som i figur 1. Her har vi flyttet en brikke over fra det siste tallet til det første. På denne måten ser vi hvordan totalmengden i de tre tallene kan fordeles likt på tre. Dette kan vi gjøre uavhengig av hvilke tre påfølgende tall vi har, så vi kan bruke denne illustrasjonen som et generisk eksempel for å vise at vi får denne strukturen uansett hvilke tre påfølgende tall vi ser på.

Elevarbeidet over viser flere tilnærminger til å argumentere for at hypotesen om at summen av tre påfølgende tall alltid er delelig med tre.

Elevene har testet ulike talleksempler (empirisk argumentasjon). I testingen har de oppdaget at svaret på divisjonen alltid vil være det midterste av de tre tallene som blir summert.

Elevene viser også på et eksempel (4 + 5 + 6) hvordan man kan flytte én fra det høyeste tallet til det laveste tallet, og på den måten gjøre om til en sum av tre like tall (her 5 + 5 + 5). De skriver videre at «når vi plusser alle de tre tallene sammen, blir det alltid delelig på tre». Siden de ikke gjennomfører addisjonen i dette tilfellet, kan det se ut som at elevene bruker at et tall er delelig med tre dersom det består av tre like grupper (her 5-ere). Elevenes argument er svært nært et generisk eksempel. Det de gjør på talleksempelet 4 + 5 + 6 kan overføres til hvilken som helst sum av tre påfølgende tall. Elevene kan utfordres til å sette ord på denne generaliseringen.

Last ned utskriftsversjon av nettsiden (PDF)