Fortell elevene at du lurer på hvor mange forskjellige tårn de kan bygge, når et tårn skal være fire klosser høyt, og de har to forskjellige farger på klossene (se Notebook-fila). Snakk gjerne litt sammen om hvor mange forskjellige tårn elevene tror det kan bli, før de setter i gang. Fortell videre at når de mener at de har funnet alle tårnene, skal de argumentere for at de har funnet alle mulige løsninger. De skal argumentere så tydelig og detaljert at andre kan bli overbevist om at løsningen deres er riktig. Organiser elevene i par eller grupper på tre. Del ut klosser i to forskjellige farger til hvert par, og blanke ark for å skrive og tegne på.

Her kan vi tenke oss at noen grupper bygger forskjellige tårn vilkårlig, mens andre arbeider mer systematisk ved for eksempel å starte med å finne alle tårn som har én rød kloss og tre gule. Spør elevene om hvordan de tenker de skal finne alle løsningene, og hvordan de skal passe på at de ikke bygger samme tårn to ganger. I oppsummeringen av timen vil det være fint å løfte frem eksempler på både usystematisk og systematisk arbeid med oppgaven, så det er fint å se etter eksempler på forskjellige måter elevpar arbeider på som kan løftes frem i fellessamtalen.

Når elevene har kommet frem til det de mener er riktig antall tårn, skal de velge hvordan de vil presentere løsningen for å overbevise andre om at de har funnet alle de forskjellige tårnene vi kan bygge. De kan velge å sette opp tårnene de har byget systematisk og argumentere ut ifra dette, eller tegne og skrive argumentet sitt på et ark.

Det finnes 16 forskjellige tårn vi kan bygge ved hjelp av fire klosser med to forskjellige farger, og det finnes flere måter elevene kan tenkes å systematisere tårnene sine på for å vise at de har funnet alle.

Før du starter fellessamtalen, er det lurt å ha en plan for hvilke elevpar du ønsker at skal presentere arbeidet sitt for resten av elevgruppen. Det kan være fint å starte med et elevpar som hadde utfordringer med å systematisere arbeidet sitt underveis. Når de har bygget mange tårn uten å systematisere dem, kan det være vanskelig å oppdage om noen av dem er like, og å vite om de har funnet alle mulige løsninger (se Notebook-fila for en usystematisk oversikt over tårnene).

Deretter kan elever som har systematisert løsningen sin, få fortelle om hvordan de har valgt å gjøre dette. Her er det fint å få frem forskjellige måter vi kan systematisere på, snakke om hva som er likt og ulikt med disse, og om de overbeviser oss om at dette er alle mulige tårn.

Selv om mange elevpar har funnet 16 ulike tårn, er det ikke sikkert at noen av elevene i klassen har en systematisering som overbeviser oss om at vi har funnet alle de mulige tårnene vi kan bygge med fire klosser og to farger. I så fall kan det være fint å rette oppmerksomheten mot de delene vi har klart å argumentere overbevisende om (for eksempel at vi har funnet alle mulige måter å plassere én gul og tre røde klosser på), og å deretter arbeide sammen i fellesdiskusjonen med de delene vi mangler. Målet er at vi i løpet av fellesdiskusjonen har kommet frem til et argument som overbeviser oss om at det finnes akkurat 16 mulige tårn vi kan bygge.

Oppsummer aktiviteten med å fremheve at vi nå har sett på hvordan vi kan argumentere for at vi har funnet alle mulige løsninger i en oppgave, og at vi har sett hvordan det å systematisere er viktig for å gi et argument som kan overbevise oss selv og andre.

Notebook: Klossetårn

Noen elever kan velge å løse oppgaven uten noen form for systematisering. I figur 1 er det 16 tårn, men det er utfordrende å se om det samme tårnet forekommer flere ganger, og å argumentere for at det ikke kan finnes enda et tårn som er forskjellig fra dem i figuren.

Dersom elevene velger å systematisere, er det mange måter å gjøre dette på. Et eksempel er å sette tårnene i par med omvendte farger, som i figur 2. Her er det positivt at elevene har funnet en måte å systematisere tårnene på, men vi må også stille spørsmål for å utfordre argumentet. Hvordan kan vi vite at vi har funnet alle tårnene med denne systematiseringen? Hva om det finnes to tårn til med omvendte farger som vi ikke har oppdaget? 

En annen måte å systematisere på er å se på antallet gule eller røde klosser i tårnene, som i figur 3 og figur 4. Her er de tårnene som har én rød og tre gule klosser samlet, tårnene med to røde og to gule klosser er samlet, etc. Ved å systematisere tårnene på denne måten kan vi bli overbevist om at det ikke finnes flere måter å plassere én rød kloss på, eller én gul kloss på. Utfordringen er de seks tårnene med to gule og to røde klosser, hvor det ikke er like lett å se at vi har plassert klossene på alle mulige måter. Dette kan det være vanskelig for elevene å argumentere for.

En måte å gjøre det på er å se på hvordan vi kan plassere to røde eller to gule klosser nederst i tårnet, og deretter flytte den øverste røde eller gule klossen oppover. Dette er illustrert i figur 3, hvor tårnene med to røde og to gule klosser er delt i to grupper. Med denne systematiseringen kan vi bli overbevist om at det ikke finnes flere måter å plassere to gule og to røde på i tårn med fire klosser.

En annen mulighet for å overbevise om at en har funnet alle tårn med to røde og to gule klosser på, er å først se på hvordan vi kan plassere to røde klosser nederst og flytte den øverste oppover. Deretter kan vi flytte begge de to røde klossene ett hakk opp og flytte den øverste oppover, og til slutt flytte begge de to røde klossene enda ett hakk opp, som da blir øverst. Dette vises i figur 4. Til sammen har vi med denne systematiseringen vist hvordan vi kan plassere én rød, to røde, tre røde, fire røde og ingen røde klosser i tårnene. På denne måten kan vi argumentere for at dette er alle mulige tårn vi kan bygge med fire klosser og to farger.

I elevbesvarelsen over har elevene strukturert tårnene etter antall klosser med samme farge. I de seks første tårnene har de tegnet alle muligheter med to klosser av hver farge. Deretter har de sett på muligheter med tre røde og én gul kloss (de fire neste tårnene). De to neste tårnene er ensfarget, før de siste fire tårnene har tre gule og én rød kloss. Å gruppere etter antall klosser i hver farge er en god strategi for å holde oversikt over tårnene, og å unngå duplikater. Det kan være noe utfordrende å overbevise om at man har funnet alle tårnene i gruppen med to røde og to gule klosser. Her kan elevene utfordres på å prøve å begrunne hvorfor det ikke finnes flere enn disse seks tårnene som har to klosser av hver farge.

Den neste elevbesvarelsen har brukt samme strategi, men her er skillet mellom de ulike gruppene tydeligere markert i figuren. Disse elevene har også vært noe mer systematiske når de har listet løsninger med tre av én farge. Her vises det godt hvorfor det ikke kan finnes flere tårn som har tre blå eller oransje klosser, ettersom den siste blå/oransje klossen flyttes systematisk oppover eller nedover fra tårn til tårn.

Last ned utskriftsversjon av nettsiden (PDF)