Start gjerne aktiviteten med å snakke med elevene om hva en hypotese er, og at en viktig del av matematikken handler om å overbevise oss selv og andre om hvorvidt ulike hypoteser stemmer. Vis så følgende hypotese på Smartboard (se Notebook-fil):

Hvis vi legger sammen to oddetall, så blir svaret et partall.

Fortell elevene at de skal jobbe sammen for å undersøke om hypotesen stemmer. De skal også argumentere for konklusjonen sin på en overbevisende måte. Påpek for elevene at et godt argument i matematikk ikke bare skal hjelpe oss til å finne ut om en hypotese er sann eller ikke, det skal også hjelpe oss til å forstå hvorfor hypotesen er sann eller ikke.

Spør elevene hva de mener er sentrale ord i hypotesen før de går i gang med pararbeidet. Strukturen som definerer partall og oddetall, er helt sentral for å kunne argumentere for gyldigheten av hypotesen.

Organiser elevene i par eller små grupper og del ut et eksemplar av oppgavearket «Summen av to oddetall» til hver gruppe. 

Elevene vil typisk starte med å teste ut hypotesen på noen eksempler. Anerkjenn dette som en fin måte å bli kjent med hva hypotesen sier på, og at de nå i alle fall vet at hypotesen er sann noen ganger. Vær oppmerksom på om elevene tester ut hypotesen konsekvent med sum av to like oddetall, så som 3 + 3 og 11 + 11, eller om de også ser på summen av to ulike oddetall, så som 5 + 9 eller 27 + 93.

Mange elever vil la seg overbevise om at hypotesen alltid er sann ut fra eksemplene. Utfordre dem på hvor mange eksempler de mener de trenger for å kunne konkludere med at hypotesen stemmer alltid. Spørsmål som «hvordan vet dere at det ikke langt der ute et sted finnes to oddetall som blir et oddetall når vi legger dem sammen?» kan hjelpe dem til å innse at det er umulig å bli helt overbevist bare ved å sjekke på eksempler. For mange vil det likevel være utfordrende å komme videre i argumentasjonen. Få elevene til å gjenta hva det vil si at noe er et partall eller et oddetall, og spør om de kan bruke dette til å undersøke hvorfor svaret alltid blir et partall. For mange kan det være lettere å se og bruke den generelle strukturen hvis de representerer to oddetall ved klosser eller tegning.

Start diskusjonen med å få frem noen forskjellige talleksempler elevene har prøvd ut (sum av to like oddetall, sum av to små oddetall, sum av to store oddetall, sum av to oddetall som er langt fra hverandre, etc.) Utfordre elevene på hvor mange eksempler de mener må til for at vi kan være helt sikre på at hypotesen alltid er sann. Påpek at eksemplene i seg selv heller ikke hjelper oss til å forstå hvorfor hypotesen er sann. Si at dere nå skal se nøyere på ett av eksemplene, for å se om dere ikke bare kan finne ut at det blir et partall, men også finne ut hvorfor det blir et partall i akkurat dette eksempelet.

Velg et egnet talleksempel fra det som har kommet fra elevene. Med egnet så menes et talleksempel som ikke er for stort, og som heller ikke er for enkelt eller spesielt. Det bør derfor ikke være sum av to like oddetall eller en sum der oddetallet 1 inngår. For eksempel er talleksempelet 5 + 9 godt egnet.

Målet med fellessamtalen er å komme frem til et generisk eksempel. Spørsmål på veien kan være:

• Hvordan kan vi få frem at det er summen av to oddetall vi undersøker? Her er det to definisjoner som kan legges til grunn, enten kan man si at 5 og 9 er oddetall fordi de får «en til overs» når de deles inn i par, eller man kan si at 5 og 9 er oddetall fordi de får «en til overs» når de deles i to like mengder. Illustrer tallene 5 og 9 på tavla med en tegning som får frem oddetallsstrukturen ut fra definisjonen klassen er enig om. Du kan bruke Smartboard (se Notebook-fila) til å lage en slik illustrasjon ved å trekke ned ønsket mengde sirkler av to farger.
• Kan vi umiddelbart se (ut fra tegningen) om summen av 5 og 9 blir et partall eller et oddetall, eller må vi regne ut svaret først? Hensikten med spørsmålet er å få elevene til å sette ord på hvordan den totale mengden kan organiseres for å tilfredsstille definisjonen av et partall.
• Hva hadde blitt likt, og hva hadde blitt forskjellig dersom det var to andre oddetall vi hadde startet med? Spørsmålet etterspør det generelle i eksempelet, nemlig at hvert av tallene vi starter med, alltid vil ha «en til overs», men at den totale mengden alltid kan organiseres i par eller i to like mengder, og at summen derfor passer til definisjonen av partall.

Avslutt aktiviteten med å poengtere for elevene at å sjekke at svaret blir et partall i ett eller flere eksempler, ikke er tilstrekkelig for å bevise at summen av to oddetall alltid blir et partall, men ved å undersøke hvorfor svaret blir et partall i ett eksempel, blir vi overbevist om at det samme vil skje i alle eksempler, også dem vi ikke har sjekket.

Arbeidsark: Summen av to oddetall (PDF)

Notebook: Summen av to oddetall

Løsningen tar utgangspunkt i en definisjon og en tilhørende strukturell tegning av partall og oddetall.

To mulige illustrasjoner for talleksempelet 5 + 9 er vist under. Figur 1 tar utgangspunkt i definisjonene «partall kan deles inn i par uten noen til overs» og «oddetall får alltid en til overs når de deles i par». Figur 2 tar utgangspunkt i definisjonene «partall kan deles i to like store mengder» og «oddetall får en til overs når de deles i to like store mengder».  

I begge illustrasjonene kommer det tydelig frem at både 5 og 9 er oddetall. Summen vi er interessert i, får vi ved å betrakte den totale mengden. I begge illustrasjonene kommer det frem hva som skjer med «den som er til overs» i hvert av oddetallene når vi slår dem sammen. Illustrasjonene viser at summen passer til definisjonen av et partall, uten at vi trenger å regne ut at summen her er 14.

For å få frem det generelle i eksempelet må man sette ord på hva som hadde blitt likt og annerledes dersom det var to andre oddetall enn akkurat 5 og 9 vi hadde startet med. Hvis vi bruker figur 1 over, så er det som blir annerledes hvor mange par vi har i hvert av tallene vi starter med, og hvor mange par det blir i summen. Det som er likt, er at vi alltid vil ha én alene i hvert av tallene vi starter med, siden de begge er oddetall, og at disse to kan slås sammen til et par når vi betrakter summen. Dermed kan summen alltid deles inn i bare par, noe som viser at summen er et partall. Hvis vi bruker figur 2 over, så vil andre tall gi et annet antall i hver av delmengdene vi får når vi deler tallene i to. Det vil alltid være en av delmengdene til hvert av tallene som har én mer enn den andre delmengden, og når vi plasserer tallene sammen (summerer), vil totalmengden være delt i to like store grupper. 

I elevarbeidet over har elevene tegnet og testet hypotesen på summer av to like oddetall, som 3 + 3, 1 + 1, 5 + 5 (i «tabellen»). De har også testet hypotesen på to rene talleksempler med to ulike oddetall, nemlig 17 + 67, og 3 + 7. Elevene ser ut til å bruke en definisjon av partall som «tall som kan deles i to uten noen til overs», og denne kommer til uttrykk både i tegningen og i talleksempelet. Elevene bruker ingen synlig definisjon av oddetall.

Elevarbeidet er ikke et bevis for at hypotesen alltid er sann, men tegningen kan være et fint utgangspunkt for videre diskusjon om hvordan vi kan fremheve oddetallsstrukturen i tallene vi betrakter, slik at vi vet om vi får et partall som svar også når det ikke er en sum av to like oddetall.

Last ned utskriftsversjon av nettsiden (PDF)