Vis oppgavearket "Mønster i subtraksjon" og fortell elevene at de skal beskrive mønster og sammenhenger de oppdager i subtraksjonsstykkene gjennom å formulere en hypotese. Det kan være nødvendig å påpeke at to og to regnestykker «hører sammen». Mønsteret de oppdager skal de formulere i en hypotese, og videre skal de gi et argument som kan forklare hvorfor hypotesen stemmer for alle lignende par av subtraksjonsstykker. Du kan gjerne minne elevene på at det er to måter vi kan tenke på subtraksjon på, enten «å ta bort noe» eller som differansen (forskjellen) mellom to mengder.

Organiser elevene i par eller mindre grupper, og del ut ett oppgaveark av «Mønster i subtraksjon» til hver gruppe.

Gå rundt og snakk med elevene mens de arbeider sammen. Still spørsmål om de har funnet et mønster, og hvordan de fant det mønsteret. Hvordan tenker de når de skal komme med flere eksempler? Elevene finner ofte raskt ut at de to regnestykkene som «hører sammen» har samme svar, men det kan være utfordrende å sette ord på hva som skjer fra det ene regnestykket til det andre. Dette er viktig å få med i en hypotese, da det ikke gir særlig mye informasjon å bare si at «vår hypotese er at regnestykkene alltid vil ha samme svar». Det er relasjonene mellom leddene i regnestykkene som man må ta utgangspunkt i et argument. Merk deg hvilke hypoteser elevene kommer med, slik at du kan ta utgangspunkt i dette i fellessamtalen.

Gi elevene tips underveis om representasjoner som kan være nyttig å bruke i argumentasjonen (alder, tallinje, tårn med ulik høyde etc.). Det vil være gunstigere å tenke på subtraksjon som differanse/forskjell, heller enn subtraksjon som ta bort. Tipsene kan gis muntlig til alle elevene samtidig, eller du kan tilby elevene tips etter hvert som du mener de er klare for det, for eksempel gjennom å dele ut tipsarket «Måter å tenke om subtraksjon». Still spørsmål som får elevene til å knytte ett av regnestykkene til representasjonen, for eksempel «hvordan kan regnestykket 56 – 9 fortelle oss noe om disse personens alder?» eller «Hvis det ene tårnet består av 56 klosser, og det andre av 9 klosser, hva forteller egentlig regnestykket 56 – 9 oss?».

Start med å få frem elevenes forslag til nye regnestykker, og skriv dem på tavla. Hva er likt og ulikt i disse regnestykkene? Kom frem til en felles hypotese. Vær forberedt på at du kanskje må hjelpe elevene for å få hypotesen tilstrekkelig presis. Et forslag kan være «Når vi har et minusstykke, og vi legger til eller trekker ifra én på begge tallene, så blir svaret fortsatt det samme». Sammen skal dere nå komme frem til om dette alltid stemmer, og hvorfor det blir slik.

• Ta utgangspunkt i et konkret regnestykke og en representasjon som illustrerer dette. Illustrasjonene fra tipsarket «Måter å tenke om subtraksjon» finnes i Notebook-fila.
• Hjelp elevene til å sette ord på både hva leddene representerer, og hvordan differansen kan tolkes i den valgte representasjonen. Hva skjer med differansen når vi endrer begge leddene med én?
• Hva vil være likt/forskjellig dersom vi starter med et annet subtraksjonsstykke, og endrer begge leddene med én?

Det er nå mulig å gå videre med hypotesen gjennom å spørre om dette bare gjelder når vi går én opp eller ned, eller kan vi gjøre det samme med å gå flere opp eller ned? Hva må vi endre i argumentet for å vise dette?

Spør elevene om når det å endre på begge tallene i et subtraksjonsstykke kan være en nyttig strategi for å finne svaret raskt. Be om eksempler på subtraksjonsstykker der det vil være lurt å bruke denne strategien, og eksempler på subtraksjonsstykker der det ikke vil være lurt å endre på tallene. Poenget er å få frem at konstant differanse kan være en lur strategi å bruke når det man skal trekke fra er nær en hel tier, som for eksempel i regnestykkene 96 − 39 eller 420 − 197. Strategien gjør at vi slipper å veksle. Oppsummer aktiviteten ved å fortelle at vi nå har undersøkt gyldigheten til sammenhengen vi har funnet, og på denne måten vist at hypotesen vår stemmer. Vi har også funnet en strategi som er effektiv for noen regnestykker med subtraksjon.

Arbeidsark: Mønster i subtraksjon (PDF)

Støtteark: Måter å tenke om subtraksjon (PDF)

Notebook: Konstant differanse – en regnestrategi i subtraksjon

For å argumentere ved hjelp av et generisk eksempel må man ta utgangspunkt i et konkret subtraksjonsstykke og en representasjon som illustrerer regnestykket.

Det er vesentlig å sette ord på både hva leddene (tallene) i subtraksjonsstykket representerer, og hvordan differansen kan tolkes i den valgte representasjonen. For eksempel, dersom dere bruker talleksempelet 56 – 9 og tårn av klosser som representasjon, kan 56 og 9 representere antall klosser i de to tårnene. Subtraksjonsstykket 56 – 9 beskriver differansen/forskjellen i antall klosser mellom de to tårnene. Svaret på regnestykket forteller med andre ord hvor mange flere klosser det er i det høyeste tårnet enn i det laveste. Regnestykket vi skal sammenligne med, er i dette tilfellet 57 – 10. Vi ser at begge tallene er én mer. Vi kan dermed tenke oss at vi legger til en kloss på hvert av tårnene. Men forskjellen i antall klosser vil være den samme. Dermed må dette regnestykket ha samme svar som det forrige.

For å generalisere argumentasjonen til å gjelde også andre subtraksjonsstykker enn det valgte eksempelet 56 – 9, kan man fremheve at alle subtraksjonsstykker (med positive heltall) kan betraktes som forskjellen i antall klosser på to tårn, og denne forskjellen vil ikke endres så lenge vil legger til (eller fjerner) samme antall klosser i begge tårnene.

I arbeidet over har elevene oppdaget mønsteret i regnestykkene, og de lager nye regnestykker som følger mønsteret. Hypotesen deres er at når man (i alle regnestykker med minus) «legger til 1 på hvert tall under originalen, blir det samme svar på begge».

For å argumentere for hvorfor hypotesen stemmer, viser de flere eksempler. Dette er med andre ord et empirisk argument. For å komme videre kan elevene oppfordres til å tenke på en situasjon som kan gi mening til ett av regnestykkene, og så utforske hvordan det å «legge til 1 på hvert tall» vil påvirke situasjonen. Det kan være gunstig å velge en situasjon der subtraksjonsstykket angir differansen mellom to størrelser.

I arbeidet over har elevene kommet frem til hypotesen «differansen blir like stor hvis man legger på like mye på tallet man har og tallet man skal trekke ifra». Elevene setter her ord på relasjonen mellom leddene i regnestykkene og svaret.

Når elevene skal argumentere for hvorfor hypotesen stemmer, gjentar de hypotesen. De lager også en tegning for å illustrere regnestykkene 3 – 2 = 1, 4 – 3 = 1 og 5 – 4 = 1. Her kan elevene utfordres til å sette ord på det illustrasjonen skal vise. Tegningen legger kanskje like mye opp til subtraksjon som «ta bort» som å tenke på subtraksjon som differanse, så elevene kan tenke gjennom om de vil endre ordlyden i hypotesen, eller om de tydeligere kan få frem differansen mellom leddene i illustrasjonen. Å koble en situasjon til tegningen kan støtte elevene i å uttrykke og generalisere argumentet, og på den måten komme frem til et generisk bevis. Notasjonen (1 + 16) – (1 + 6) = 10 kan også videreutvikles til et generelt (algebraisk) bevis.

Last ned utskriftsversjon av nettsiden (PDF)