Resonnering, argumentasjon og bevis

Resonnering, argumentasjon og bevis er tre ord som henger tett sammen i matematikk. Kort sagt kan man si at resonnering inneholder argumentasjon, som igjen inneholder bevis, slik figuren under illustrerer.

Resonnering er et samlebegrep for det man gjør for å utvikle matematiske påstander, og det man gjør for å finne ut om påstandene er sanne. Noen eksempler på påstander er «tallet 17 er et oddetall», «når vi legger sammen to partall, får vi alltid et partall som svar», «å dele på to og å gange med en halv er det samme» og «løsningen av denne ligningen er 16».  Matematiske påstander handler altså om egenskaper ved matematiske objekter, og om relasjoner og sammenhenger mellom matematiske objekter. Ikke alle matematiske påstander er sanne, for eksempel er det ikke sant at «når vi deler et tall på et annet, blir svaret alltid mindre enn det vi starter med».

Aktiviteter der elevene gis mulighet til å oppdage og beskrive likheter, regelmessigheter og mønster, er egnet for å utvikle matematiske påstander. Hvis aktivitetene ikke krever at elevene også skal undersøke om påstanden faktisk stemmer, og hvorfor den stemmer, holder man seg i den ytterste delen av figuren over, videre kalt RAB-figuren.

Argumentasjon er det neste laget i RAB-figuren og betegner den delen av resonneringen som handler om å overbevise seg selv og andre om at sammenhengene man har oppdaget stemmer. Hvis en påstand eller en fremgangsmåte skal kunne brukes videre i matematisk arbeid, må man være helt sikker på at, og når, den er gyldig.

En vanlig form for argumentasjon, både i skolematematikk og i samfunnet ellers, er å vise til autoriteter. I matematikkfaget kan man velge å stole på fasit, læreren, foreldre, søsken eller medelever som man betrakter som kompetente i matematikk, når man vil avgjøre om en påstand er sann eller ikke. Selv om å sjekke med fasit eller en medelev kan gjøre at man fester større lit til en påstand, er det ikke en gyldig argumentasjonsform i matematikk.

En annen form for argumentasjon som elever gjerne tyr til, er empirisk argumentasjon. Empirisk argumentasjon går ut på å teste en påstand på utvalgte eksempler. For eksempel kan man teste påstanden «summen av to oddetall blir alltid et partall» på oddetallssummene 5 + 9, 11 + 17 og 37 + 21. I alle de tre utvalgte talleksemplene viser det seg at summen blir et partall. Jo flere eksempler som følger mønsteret, dess sikrere blir man på at mønsteret alltid må gjelde. Når man skal undersøke om en påstand er sann eller ikke, er det naturlig å teste på eksempler først. Problemet med et rent empirisk argument er at man ikke har noen garanti for at det ikke før eller siden dukker opp et eksempel som ikke følger mønsteret. Å teste på eksempler gir derfor ikke et matematisk gyldig argument for at en påstand alltid er sann, med mindre det faktisk lar seg gjøre å teste alle tilfeller. For eksempel kan man argumentere fro at påstanden «alle partall som er større enn 2 og mindre enn 20, kan skrives som summen av to primtall» ved å sjekke at både 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 og 18 kan skrives som summen av to primtall.

Ved å ikke godta eksemplene som et argument, men heller bruke dem som et utgangspunkt for å undersøke hvorfor påstanden blir sann, kan man hjelpe elevene med å komme lenger i sin argumentasjon. Gjennom å sette ord på egenskaper og relasjoner mellom tall og regneoperasjoner som inngår i eksemplene, får elevene trent på å gjøre argumentene sine mer overbevisende. De beveger seg da mot kjernen av RAB-figuren, mot matematisk gyldige bevis. 

En vanlig form for argumentasjon, både i skolematematikk og i samfunnet ellers, er å vise til autoriteter. I matematikkfaget kan man stole på fasit, læreren, foreldre, søsken eller medelever som man betrakter som kompetente i matematikk. Når man skal undersøke en matematisk sammenheng, er det også vanlig å la seg overbevise av eksempler. Jo flere eksempler som følger mønsteret, dess sikrere blir man på at mønsteret alltid må gjelde. En utfordring med disse to måtene å argumentere for at noe alltid er sant på, er at ingen av dem gir noen garanti for at det ikke før eller siden dukker opp et eksempel som ikke følger mønsteret. Å henvise til autoriteter, og å teste en generell påstand på utvalgte eksempler (som kalles empirisk argumentasjon), gir heller ingen forklaring på hvorfor påstanden må være sann.

Ved å ikke godta empirisk argumentasjon eller autoriteter, og heller bruke tid på å begrunne hvorfor påstander er sanne, kan man hjelpe elevene med å komme lenger i sin argumentasjon. Gjennom å lete etter forklaringer som sier noe mer eller noe annet enn å bare gjenfortelle hva man har gjort, får elevene trent på å gjøre argumentene sine så overbevisende som mulig, og man beveger seg videre innover i RAB-figuren.

I kjernen av RAB-figuren finner man bevis. Bevis er matematiske argumenter som er så gode at de fjerner all tvil om hvorvidt en påstand er gyldig eller ikke. For at et argument skal kvalifisere som et bevis, er det tre kriterier som må være oppfylt (Stylianides, 2007). Alle kriteriene tar hensyn til både til det matematiske aspektet ved beviset og klassefellesskapet som beviset skal fungere innenfor. De tre kriteriene er:

1. Beviset bygger på matematisk gyldige definisjoner og sammenhenger som er kjent for elevene. 
2. Beviset bruker en matematisk gyldig argumentasjonsform som er egnet i klassefellesskapet.
3. Beviset bruker egnede uttrykksformer.

De fleste påstander kan bevises på ulike måter, men et av hovedpoengene i definisjonen over er at argumentet skal være egnet innenfor klassefelleskapet. Dette gir noen ekstra føringer. Et algebraisk bevis kan være gyldig på et universitet, men det vil ikke gi mening for en tredjeklassing, og man kan dermed ikke si at påstanden er bevist i fellesskapet «tredjeklassinger». Det betyr altså at noen argumentasjonsformer og uttrykksformer er mer egnet enn andre når man jobber med argumentasjon og bevis i grunnskolen. Eksempler på dette kan du lese mer om i undersidene her i fordypningsmaterialet.

Eksempler på hva som kan være passende bevis for ulike typer matematiske påstander, kan du lese mer om i undersidene her i fordypningsmaterialet.

Hvorfor arbeide med argumentasjon?

Arbeid med resonnering, argumentasjon og bevis har i de siste tiårene blitt fremhevet i mange lands læreplaner og anbefalinger for undervisning i matematikk. I den norske læreplanen LK20 (Kunnskapsdepartementet, 2019) er resonnering og argumentasjon løftet frem som ett av kjerneelementene i matematikkfaget. Det er flere viktige grunner til at argumentasjon har fått stadig større plass i grunnskolen. Den kanskje viktigste grunnen er at elever lærer mer matematikk. Når elever får være med på å undersøke og begrunne, får de kunnskap om og innsikt i sentrale matematiske sammenhenger. Elevene blir aktive bidragsytere, og man unngår at faget presenteres som en samling regler og prosedyrer elevene må tilegne seg. Dette kan skape glede, mestring og motivasjon for faget. Argumentasjon og bevis er også en av hovedaktivitetene i vitenskapsfaget matematikk. Det er derfor avgjørende at elever får ta del i disse aktivitetene hvis man ønsker at de skal bli kjent med fagets egenart.

Videre lesing

Burheim, O. T., Dahl, H., Enge, O. & Rø, K. (2023) Alltid, aldri eller noen ganger? – Om matematisk argumentasjon i grunnskolen. Caspar Forlag. 

Jeannotte, D., & Kieran, C. (2017). A conceptual model of mathematical reasoning for school mathematics. Educational studies in mathematics, 96(1), 1–16.

Stylianides, A. J. (2007). Proof and proving in school mathematics. Journal for research in mathematics education, 38(3), 289–321.

Stylianides, A. J., & Ball, D. L. (2008). Understanding and describing mathematical knowledge for teaching: knowledge about proof for engaging students in the activity of proving. Journal of mathematics teacher education, 11(4), 307–332.

Lisenskode

CC BY 4.0

Se flere læringsressurser fra Institutt for lærerutdanning.