Spør elevene om de har hørt ordet hypotese før, og hva de tror det betyr. Elevene kan komme med forslag som at det er noe de tror eller mener, at det er en idé, og de kan ha møtt ordet tidligere for eksempel i naturfag. Fortell elevene at i matematikk brukes ordet hypotese om en påstand om en sammenheng eller et mønster som vi har oppdaget, men som vi ikke er helt sikre på om alltid stemmer, eller hvorfor det stemmer. Vis definisjonen av hypotese i Notebook-fila på smartboard. En hypotese er en matematisk påstand vi tror er sann, men som bør undersøkes nærmere for å finne ut om den stemmer eller ikke. Dette gir elevene mulighet til å lese definisjonen flere ganger.

Fortell elevene at vi i dag skal arbeide med noen hypoteser, og finne ut om de stemmer alltid, aldri eller noen ganger. Vi skal også øve på å gi et argument for hvorfor vi mener det vi gjør, slik at vi kan overbevise andre om at det vi har funnet ut, stemmer. Si at et slikt argument kan inneholde både ord, tall og tegninger.

Del elevene i par/grupper, og del ut arbeidsarket. Her skal elevene sette ring rundt om de mener hypotesene stemmer alltid, aldri eller noen ganger. Deretter skal de argumentere for det de mener, gjerne ved både ord og tegning.

Hypotesene som er valgt ut i denne aktiviteten, skal vise elevene at hypoteser kan handle om både endelig mange og uendelig mange tilfeller, og at hypoteser kan være sanne eller usanne. Noen av hypotesene vil kjennes opplagt sanne eller usanne for elevene, mens andre må utforskes nærmere. I alle tilfeller er det viktig at du som lærer spør elevene hvorfor de mener hypotesen er sann eller ikke. Bruk gjerne ord som «argumentere» og «overbevise».

Det er naturlig å starte en undersøkelse av en hypotese med å teste den på noen eksempler. På den måten får man prøvd ut om man har forstått innholdet i hypotesen. Selv om å teste på eksempler kan gjøre oss mer (eller mindre) overbevist om at en hypotese er sann, er det er viktig at elevene ikke får inntrykk av at å teste på noen eksempler er et tilstrekkelig argument. Du bør derfor utfordre elever til å komme med en form for argumentasjon utover det å vise til eksempler. Anerkjenn at de har funnet ut at hypotesen er sann for de eksemplene de har testet, men still spørsmål om hvordan de vet at det vil gjelde for tall de ikke har testet.

Gå igjennom de ulike hypotesene og få frem elevenes begrunnelser (se Notebook-fila). Fremhev spesielt at når en hypotese påstår noe for uendelig mange tall, er det ikke tilstrekkelig å bare sjekke hypotesen på noen utvalgte eksempler. Bruk ordet hypotese jevnlig, og ord som «overbevise», «argumentere» eller «finne ut hvorfor» når dere jobber med argumentasjonen.

Hjelp elevene til å uttrykke mer presist de egenskapene som er sentrale i hypotesene, så som hva det vil si å være et tall i 10-gangen, eller et partall. Bruk gjerne representasjoner i form av tegninger.

Oppsummer aktiviteten ved å fremheve at dere i dag har satt ord på hva en hypotese er, funnet ut at hypoteser kan være sanne eller ikke, og jobbet med å forklare hvorfor.

Arbeidsark: Alltid, aldri, noen ganger (PDF)

Notebook: Alltid, aldri, noen ganger

Tall i 3-gangen er partall (noen ganger sann)

Denne hypotesen kan man se at stemmer noen ganger ved å finne eksempler på tall i 3-ganger som er partall (6, 12, 18 osv.), og noen eksempler på tall i 3-gangen som ikke er partall (3, 9, 15 osv.). Da kan elevene oppfordres til å si noe om hva som skal til for at et tall i 3-gangen også skal være et partall.

Tall i 10-gangen slutter på 0 (alltid sann)

Elevene vil nok raskt ha en følelse av at denne hypotesen alltid stemmer. Et argument her kan være at 10 er et tall som består av en tier og null enere. Tall i 10-gangen kan vi tenke på som gjentatt addisjon av tiere. Siden ingen av tierne har noe på enerplassen, får vi heller ikke noen på enerplassen når vi legger dem sammen. Dette argumentet legger vekt på egenskaper knyttet til posisjonssystemet, og dessuten sammenhengen mellom addisjon og multiplikasjon for heltall.

Jeg kan legge sammen to partall og få sju (aldri sann)

For denne hypotesen kan elevene enten prøve ut ulike summer av partall, eller de kan støtte seg på en annen hypotese, nemlig at når du legger sammen to partall, vil summen alltid bli et partall. Dersom de prøver ut på eksempler, som 2 + 4, 2 + 6 etc., kan du utfordre elevene til å si noe om hvordan de vet at de har sjekket alle muligheter. Dersom de støtter seg til at summen av to partall blir et nytt partall, kan du spørre hvordan de kan være sikre på dette.  

Tverrsummen til tallene i 9-gangen er 9 (noen ganger sann)

Denne hypotesen kan kreve at dere sammen setter ord på hva som ligger i begrepet tverrsum. En mulig definisjon kan være at tverrsummen til et tall er summen av sifrene tallet består av. Eksemplifiser gjerne, slik som at tverrsummen til 35 blir 3 + 5 = 8. Denne hypotesen er tatt med for å vise at et mønster vi ser på mange eksempler, plutselig kan bryte sammen. Her vil alle tallene i 9-gangen frem til og med 10 · 9 oppfylle hypotesen, mens 11 · 9 = 99 har tverrsum 9 + 9 = 18, og er dermed et moteksempel som viser at hypotesen ikke alltid er sann. Dette viser at å teste på noen eksempler ikke er nok når vi har en hypotese som påstår at noe er sant for uendelig mange tilfeller. Når elevene jobber med denne hypotesen, kan de trenge oppmuntring til å bevege seg utover den lille gangetabellen. 9-gangen avsluttes ikke med 10 · 9 = 90.  

I elevarbeidet over har elevene funnet argumenter for hvorfor hypotesene stemmer alltid, aldri eller bare noen ganger.

For hypotesene «Tall i 3-gangen er partall» og «Tverrsummen til tallene i 9-gangen er 9» forklarer elevene at de har skrevet opp de respektive gangene, og funnet ut at påstanden stemmer noen ganger, men ikke alltid. Her kreves det ikke ytterliggere argumentasjon, men det er mulig å utfordre elevene videre. For eksempel påstår de at tallene i 3-gangen blir partall og oddetall annenhver gang. Her kan man spørre elevene om dette mønsteret vil fortsette for alltid, og om de kan vise hvorfor. For påstanden om tverrsum kan man oppfordre elevene til å finne noe annet mønster som alltid stemmer (for eksempel vil tverrsummen til et tall i 9-gangen alltid bli et tall i 9-gangen).

For hypotesen «Tall i 10-gangen slutter på 0» er elevenes argument at dette stemmer alltid, fordi hver eneste tier slutter på 0. Her kan man utfordre elevene til å utdype argumentet sitt. For eksempel er det jo ikke slik at alle tall i 12-gangen slutter på 2, selv om hver eneste 12-er slutter på 2.

For hypotesen «Jeg kan legge sammen to partall og få 7» argumenterer elevene for at dette aldri stemmer ved å bruke en annen påstand, nemlig at summen av to partall alltid blir et partall. Dersom elevene tidligere har etablert at denne påstanden er sann, er argumentet gyldig. Dersom elevene ikke har jobbet med denne påstanden, men bare tar den for gitt, går det an å utfordre elevene til å undersøke påstanden videre.

Last ned utskriftsversjon av nettsiden (PDF)