89 / 128
86
10. Skalarprodukt - Introduksjon
Vi kan vise at sammenhengen er riktig ved regning:
Utgangspunktet er de nisjonen
cos
u v u v
ϕ
• =
, der
φ
er vinkelen mellom vektorene. Denne
de nisjonen bestemmer hva et skalarprodukt mellom to vektorer er. De nisjonen skal gjelde for alle
vinkler
φ
, også for
φ
= 0°. Nedenfor viser vi at regelen gjelder når
φ
= 0°.
Vi kaller vektorene
[ ]
,
u a b
=
og
[ ] [ ] [
]
,
,
,
v c d n a b na nb
= =
=
da de har samme retning (men kan
ha ulik lengde).
Vi setter inn i de nisjonen:
[ ] [
]
(
) (
)
[ ] [ ]
2
2
2
2
2
2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
2
cos
,
,
cos 0
( ) ( ) 1
(
)(
)
(
)(
)
(
)
( )
( )
:
,
,
u v
u v
a b na nb
a b na nb
a b n a n b
a b a b n
a b n
a na b nb
a c b d
Altså
u v a b c d ac bd
ϕ
• =
=
° =
+
+
⋅ =
+
+ =
+
+ =
+ =
⋅
+ ⋅
=
⋅ + ⋅
• = •
= +
Dette begrunner regelen som vi kan bruke når vi kjenner vektorkoordinatene.