Argumentasjon i arbeid med ulike problemløsningsoppgaver

Et problem er til for å løses! Problemløsningsoppgaver i matematikk skiller seg fra rene rutineoppgaver ved at elevene ikke umiddelbart kjenner en fremgangsmåte de kan bruke for finne svar på oppgaven. Det finnes mange typer problemløsningsoppgaver. Noen oppgaver er svært åpne. De gir elevene frihet i hvordan de vil tolke spørsmålet, hvilke betingelser de vil sette, og hva slags informasjon de vil innhente for å løse oppgaven. Andre oppgaver gir elevene all informasjon de trenger, elevene må bare finne ut hvordan de skal bruke den. Noen problemløsningsoppgaver handler utelukkende om matematiske sammenhenger, mens andre tar utgangspunkt i et reelt problem.

Et kjennetegn ved problemløsningsoppgaver er at de kan løses på ulike måter, selv i de tilfeller der det forventes at alle elevene kommer frem til samme svar. Dette gjør problemløsningsoppgaver særlig egnet for argumentasjon! I tillegg til å vise frem hvordan de har løst oppgaven, kan elever utfordres på å overbevise andre om hvorfor fremgangsmåten de har valgt er meningsfull og gyldig.

Denne siden tar for seg hva det innebærer å argumentere for løsningen sin i to typer problemløsningsoppgaver: sammensatte tekstoppgaver og kombinatoriske problemløsningsoppgaver.

Sammensatte tekstoppgaver

En sammensatt tekstoppgave kjennetegnes ved at elevene må sette seg inn i og sortere flere biter med informasjon, og de må gjennomføre utregninger i flere steg for å komme frem til svaret på det oppgaven spør om. Et eksempel på en sammensatt tekstoppgave er:

Fotballkortene

Sofie, Iver og Karl har samlet sammen alle fotballkortene sine. Sofie har 58 vanlige kort og 6 spesielle kort. Iver og Karl har like mange vanlige kort. Iver har tre flere spesielle kort enn Sofie, mens Karl har dobbelt så mange spesielle kort som Sofie. Til sammen har de 215 kort. Hvor mange vanlige kort har Iver?

En sammensatt tekstoppgave skal gjerne være utfordrende å løse. Elevene kan støte på problemer med å tolke opplysningene, velge regneart eller gjennomføre utregninger. Veien fra oppgaveteksten til det endelige svaret er lang, noe som gjør at elevene kan miste oversikten over hva de har funnet ut underveis, og hvor de er på vei. Når de kommer frem til et svar på oppgaven, vil de kanskje gjøre en vurdering av om svaret er rimelig. De vil sjelden gå tilbake for å sjekke om stegene de har gjennomført bygger på hverandre på en logisk måte, og elevenes skriftlige besvarelse vil oftest bare inneholde løsrevne regnestykker uten forklarende tekst.

Hva innebærer det å argumentere i sammensatte tekstoppgaver?

Argumentasjonen som ligger bak elevenes utregninger, foregår gjerne enten i hodet eller i muntlig dialog med en arbeidspartner, og er dermed ikke umiddelbart tilgjengelig for lærer eller medelever. I filmen under vises et eksempel på hvordan en tenkt elevbesvarelse kan bygges ut.

Å argumentere for løsningen sin i en sammensatt tekstoppgave innebærer altså å sette ord på tankegangen og begrunne valg som er gjort underveis. Det ferdige argumentet kan bestå av både tekst, tegninger og utregninger, som tydelig viser hvordan stegene i løsningen følger av hverandre og bygger på informasjonen i oppgaven.

Argumentet for hvorfor løsningen i en sammensatt tekstoppgave er gyldig, styrkes gjennom å

• fortelle hvor tallene kommer fra, og hva de brukes til
• sette ord på hva svaret på de ulike regnestykkene forteller
• begrunne valg av regneoperasjon
• lage tegninger som illustrerer relasjoner mellom størrelser
• bruke argumenterende ord og fraser som «fordi», «da må», «derfor» etc.

Disse punktene kan fremheves i en helklassesamtale og du som lærer kan da hente frem elevenes begrunnelser og argumenter. Siden det kan være utfordrende for elever å huske alle resonnement og argumenter, kan det være en god øvelse for dem å måtte skrive ned tankene sine og i det jobbe med å bygge opp et deduktivt resonnement. Når man bygger opp logiske resonnement, ser man hvordan ting henger sammen, og at forskjellige opplysninger/ledd i tankerekken må bygge på hverandre. Dette er ikke noe man trenger å gjøre like grundig hver gang man jobber med slike tekstoppgaver, men det er en god øvelse for å bli bevisst forskjellen mellom å fortelle hva man har gjort, og å begrunne hvorfor det gir mening. Noen måter å motivere elevene til å se behovet for å overbevise er å

• henvise til at andre elever har løst oppgaven på en annen måte
• stille krav om at løsningen skal være egnet til å overbevise en elev på en yngre trinn (sette seg inn i hva yngre vet og ikke vet, sette ord på det de «tar for gitt»)
• bygge inn i oppgaven at noen andre (ordfører, vaktmester, rektor eller lignende) skal bruke besvarelsen for å ta en avgjørelse

Hvilke oppgaver skal jeg velge?

I prinsippet kan man velge alle typer sammensatte tekstoppgaver, men dersom fokuset er spesifikt på argumentasjon, bør ikke oppgaven være så vanskelig at elevene ikke kommer frem til svaret. Oppgaven må altså være passe utfordrende og gjerne en der du forventer at elever kan løse den på forskjellige måter. En variant av sammensatte tekstoppgaver hvor oppmerksomheten rettes spesielt mot argumentets deduktive struktur, er å gi elevene en oppgave sammen med et uferdig argument, kanskje bare løse regnestykker. Da må de finne ut hvilke de vil få bruk for, og i hvilken rekkefølge. Er det noe som mangler her for å kunne overbevise en venn om at dette stemmer? Hvordan skal teksten bygges rundt regnestykkene for at det skal være tydelig at løsningen er gyldig? Et eksempel på en slik oppgave ser du her:

Kombinatoriske problemløsningsoppgaver

Noen tekstoppgaver har utspring i et kombinatorisk problem, hvor spørsmålet handler om hvor mange muligheter som finnes, eller hvor mange forskjellig kombinasjoner som kan lages. To eksempler på slike oppgaver er gitt under.

Kleskombinasjoner

Jeg har tre forskjellige bukser (svart, blå og brun) og fire forskjellige gensere (rød, grønn, gul og hvit) med meg på ferie. Hvor mange ulike antrekk kan jeg sette sammen?

Mynter i lomma

I lomma har jeg to norske mynter. Hvilken pengesum kan jeg ha? Finn alle muligheter.

I disse oppgavene er det gjerne enkelt å finne både én og to og tre ulike muligheter. For oppgaven med bukser og gensere kan man for eksempel lage et antrekk ved å kombinere den blå buksa med den røde genseren. En annen mulighet er å kombinere den svarte buksa med den gule genseren.  

Hva innebærer det å argumentere i kombinatoriske problemløsningsoppgaver?

Argumentasjon i kombinatoriske problemløsningsoppgaver handler om å overbevise seg selv og andre om at man har funnet alle muligheter, og at man ikke har telt noen løsninger flere ganger. Nøkkelordet her er systematikk.

Noen uttrykksformer som særlig er egnet for å argumentere for at en har funnet alle løsninger i et kombinatorisk problem, er tabeller og systematiske lister eller tegninger. Videre kan du se hvordan disse uttrykksformene kan brukes i arbeid med oppgaven Mynter i lomma.

Systematisk liste

For oppgaven med to mynter i lomma kan man forsøke å lage en liste over alle muligheter. Her må man bestemme på forhånd om man kan ha to mynter med samme verdi eller ikke.

Vi har fire mynter med forskjellig verdi som er i bruk i Norge, 1kr, 5kr, 10kr og 20kr. Noen summer man kan få ved å legge sammen to av valørene, er 6kr, 25kr, 40kr osv. Dette kan man systematisere ved å først finne alle kombinasjoner der én av myntene er et kronestykke. Deretter kan man holde en annen mynt fast og variere de andre valørene. For eksempel slik:

• Muligheter som inneholder kronestykke, listet fra minst til størst: 1 + 1 = 2, 1 + 5 = 6, 1 + 10 = 11 og 1 + 20 = 21
• Muligheter som inneholder en femmer, men ikke noe kronestykke: 5 + 5 = 10, 5 + 10 = 15 og 5 + 20 = 25
• Muligheter som verken inneholder kronestykke eller femmer: 10 + 10=20, 10 + 20 = 30 og 20 + 20 = 40

En opptelling viser at det til sammen blir ti ulike summer.        

Tegning

En annen måte å systematisere kombinasjonene på er å tegne. To eksempler på hvordan myntkombinasjonene kan tegnes følger under.

 
Den første figuren viser de fire valørene hver for seg, med streker som representerer kombinasjoner mellom dem. Denne figuren er ganske oversiktlig, men utelater at man kan kombinere to mynter med samme verdi. Vi ser heller ikke tydelig hva summene er.

Den andre figuren tillater å kombinere valører med seg selv. Her kan derimot et problem være at man ikke så lett ser duplikater. Ut fra figuren ser det ut som det skal være 16 forskjellige summer, men fra listen over vet vi at det bare er 10. Duplikatene kommer av at i denne tegningen regnes det å sette sammen et kronestykke med en tier som en annen løsning enn å sette sammen en tier med et kronestykke, selv om begge kombinasjonene gir sum 11 kroner.

Tabell

En tredje måte å systematisere kombinasjonene på er å lage en tabell med de forskjellige valørene i første kolonne og første rad. Her kommer summene tydelig frem, og det er også enklere å se duplikatene (tenk for eksempel alle summene under diagonalen).

Å støtte elevenes arbeid

Det er altså flere måter man kan systematisere på. For eksempel å holde en variabel fast mens man varierer de andre. Dette kommer frem i alle de tre eksemplene over og er nok en av de mest ryddige måtene å systematisere slike løsninger på. Men måten å systematisere på vil avhenge av hva slags problem du gir elevene dine. Man må også avgjøre hva slags kombinasjoner som telles. Kan man ha to like mynter, for eksempel? Er 1 kr + 5 kr det samme som 5 kr + 1 kr, eller skal de telles som to kombinasjoner? I oppgaven med klær er kanskje ikke dette et problem på samme måte, da det er gitt i oppgaven at man skal ha én genser og én bukse. Men dette er altså poeng man bør tenke over før man gir oppgaven til elevene.

For å hjelpe elevene mot et argument for at de har funnet alle løsninger, kan det være lurt å hjelpe dem i å innse begrensninger i løsningene sine og se et behov for å være systematiske. Noen tips for å støtte dem på veien mot et system kan være å

• gi elevene konkretiseringsmateriale som kan flyttes på og reorganiseres 
• gi elevene store ark og fargestifter for å visualisere løsningene sine 
• peke på løsninger elevene ikke har funnet enda for å vise at de ikke har funnet alle løsninger: «Her er en løsning dere ikke har enda», «Her er en kombinasjon, har dere denne?» 
• redusere antallet valg for å starte en systematisering: «Din favoritt er 1, så den tar du alltid. Hvor mange kombinasjoner kan vi få til hvis 1 alltid skal være med?»
• oppfordre elevene til å gruppere løsninger som har noe felles

Hvilke oppgaver skal jeg velge?

Dess flere «valg» eller «steg» eller «elementer som skal kombineres», dess mer krevende blir det for elevene å finne alle løsninger. Se bare på forskjellen på å ha to og tre mynter i lomma i oppgaven over. Med to mynter i lomma har vi ti forskjellige summer, med tre mynter i lomma øker dette til nesten dobbelt så mange løsninger, i tillegg til at både 10 + 10 + 10 og 5 + 5 + 20 gir summen 30. Skal dette telles som to forskjellige?

I tillegg til antall valg eller steg vil det også variere om man kan velge samme element flere ganger underveis. Hvis man har en oppgave der man skal velge forskjellige iskuler, vil man jo kunne velge å ha tre sjokoladekuler, for eksempel, men hvis oppgaven handler om å sette sammen antrekk, vil det ikke gi mening å velge en svart og en grønn genser, men ingen bukse. Et tips er iallfall å ha prøvd selv på forhånd å prøve å finne alle kombinasjoner for det kan være overraskende komplekst.

Etter hvert blir elevene gjerne introdusert for valgtrær, men da er det systematiske allerede ivaretatt, og oppmerksomheten flyttes gjerne over til å vise hvordan kombinatorikk henger sammen med multiplikasjon, og/eller sannsynlighet. Når fokuset skal ligge på argumentasjon ved systematikk anbefaler vi å velge oppgaver der elevene kan (systematisk) telle alle løsninger.

Lisenskode

CC BY 4.0

Se flere læringsressurser fra Institutt for lærerutdanning.