I matematikken er det mange sammenhenger og egenskaper ved tall man kan utforske. Kanskje har man oppdaget at man kan regne ut noe på en lur måte, eller kanskje man har oppdaget at hver gang man legger sammen tre oddetall, så blir svaret et oddetall? Både regnestrategien og sammenhengen om oddetall kan formuleres som generelle hypoteser, og det er mulig å argumentere for at hypotesene alltid vil stemme. Hvordan man jobber med argumentasjon om regnestrategier, kan du lese mer om, men videre på denne siden konsentrerer vi oss om hypoteser som ikke omhandler regnestrategier.

Slike generelle hypoteser som ikke handler om regnestrategier, tar ofte utgangspunkt i sammenhenger i tallsystemet vårt, og fokuserer på forskjellige egenskaper ved tall. For eksempel kan man argumentere for at summen av to oddetall er et partall, at summen av tre påfølgende tall er delelig med tre, eller at tall som slutter på åtte, alltid er et partall.

Hva innebærer det å argumentere for en generell hypotese?

Når man skal argumentere for generelle hypoteser, er et naturlig første steg å prøve å bevise dem ved hjelp av eksempler: «Jeg har testet på fire eksempler, og det stemmer hver gang. Derfor må det være sant.» Et slikt argument kalles et empirisk argument og er ikke matematisk gyldig. Det er også vanlig å prøve å argumentere ved å referere til at noen andre har sagt det er sant. Dette er heller ikke et matematisk gyldig argument.

Argumentasjon ved generisk eksempel

For å bevise en generell sammenheng i grunnskolen må man bruke en matematisk gyldig argumentasjonsform som er tilpasset klassen. Da kan man for eksempel bruke et generisk eksempel.

Et eksempel på hvordan man kan jobbe med en slik argumentasjonsform, kan du se i videoen under.

Altså: Vi bruker en uttrykksform til å vise hvorfor en påstand stemmer i et eksempel. Derfra løfter vi eksempelet til noe generelt og sier at det ikke var spesielt for akkurat dette eksempelet, men det vil gjelde for alle heltall.

Andre gyldige argumentasjonsformer

Noen ganger kan man hoppe over å argumentere for et eksempel og heller gå rett på det generelle. Da bruker vi det som kalles en generell logisk slutning. Hvis vi tar utgangspunkt i hypotesen at summen av tre oddetall er et oddetall. Da kan vi si at hvis vi har et oddetall antall klosser, kan vi dele dem inn i noen par, og så blir det en kloss til overs. Det samme skjer med de to andre oddetallene. Når vi legger de tre sammen, ser vi at de tre til overs kan danne et nytt par, men det vil fremdeles være én til overs. Altså har vi en mengde par og én til overs, noe som må vær ett oddetall. 
 

Her har vi ikke tatt utgangspunkt i et konkret eksempel, bare gått direkte til det generelle tilfellet. Det viktige er at strukturen i oddetall kommer frem, og at vi bruker det når vi argumenterer.

En tredje, matematisk gyldig måte å bevise noe på er å bruke et algebraisk bevis. For hypotesen over kunne vi definert et oddetall som 2n + 1 der n er et naturlig tall eller null. Da kan vi skrive summen av tre oddetall som

(2n + 1) + (2m + 1) + (2k + 1) = (2n + 2m + 2k) + (1 + 1 + 1) = 2 (n + m + k) + 3 = 2 (n + m + k + 1) + 1 = 2p + 1

Der p = n + m + k + 1. Altså er summen av tre oddetall et oddetall. Denne formen å bevise sammenhenger på er ikke like relevant i grunnskolen, men baserer seg på de samme egenskapene ved oddetall. Vi kan tenke på et oddetall som et antall par (2n) og en til overs (+1).

Lisenskode

CC BY 4.0

Se flere læringsressurser fra Institutt for lærerutdanning.