Vi baserer oss på Jeannotte og Kierans definisjon av matematisk resonnering (2017). Denne er utviklet fra et omfattende utvalg litteratur om resonnering og bevis og er dermed ikke i konflikt med tidligere litteratur om temaene som er mye brukt, som for eksempel Stylianides (2007) og Balacheff (1988). Jeannotte og Kieran definerer matematisk resonnering (MR) bredt: MR består av prosesser for søk etter likheter og forskjeller og prosesser for validering, samt eksemplifisering som støtte for begge de to første prosesskategoriene. Kort fortalt har prosesser for søk etter likheter og forskjeller som formål å utlede matematiske påstander, mens prosesser for validering har som formål å finne ut om en matematisk påstand er sann eller ikke. Hver av de to prosesskategoriene består av flere underkategorier:

Prosesser for søk etter likheter og forskjeller

• se etter mønster
• sammenligne
• klassifisere
• generalisere
• fremme en hypotese

Prosesser for validering

• argumentere
• bevise
• (bevise på en formell måte)

Videre følger et kort resyme av underkategoriene. Eksemplene er hentet fra Arnesen og Rø (2022).

For å eksemplifisere de ulike kategoriene tar vi for oss følgende oppgave: «Hvem skal ut av tallene 4, 20, 32, 16?» Elever kan sammenligne tallene i listen ved å undersøke likheter og forskjeller i tallenes matematiske egenskaper: «32 og 16 er begge i 8-gangen», «32, 16 og 4 er toer-potenser, men 20 er ikke det». Spør vi elevene om å foreslå et annet tall som passer inn i listen istedenfor det som skal ut, kan de klassifisere hvilke tall som hører til i klassen «toer-potenser». Hvis vi oppmuntrer elevene til å undersøke denne klassen av tall nærmere, kan de se på mengden {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256…} og identifisere mønsteret at siste siffer i tallene er et gjentakende mønster av rekka 2, 4, 8, 6. Dette kan generaliseres til noe som trolig holder når vi fortsetter å beregne toer-potenser, og deretter formaliseres som en hypotese som blir gjenstand for videre undersøkelser. Hypotesen kan valideres ved å argumentere eller ved å formulere et bevis (se lenger ned for mer om hva dette kan være). Arbeid med formelle bevis er ikke relevant for mellomtrinnet. På alle stadier i arbeidet med oppgavene ovenfor er det naturlig å bruke eksemplifisering for å støtte ideer eller oppdage nye likheter.

I eksempelet ovenfor blir oppgaven stadig utvidet for å få inn alle MR-prosessene, men i praksis vil man sjelden bruke oppgaver som rommer alle prosessene i løpet av et kort tidsrom. Prosessene vil også gå gradvis over i hverandre, og det er ikke nødvendigvis entydig hvilken rekkefølge de bør foregå i.

Jeannotte og Kierans modell for matematisk resonnering behandler de ulike prosessene for validering og de strukturelle aspektene ved resonnering på et overordnet nivå. Det har derfor vært nødvendig å velge ut hvilke begreper knyttet til bevis og argumentasjon vi tar i bruk i ressursene. Dette er avgrenset av litteraturen vi har valgt å bruke for studentene:

Kapittel 5 i QED 1–2 (2. utgave) skrevet i 2022 av O. Enge og A. Valenta (PDF) eller kort sammendrag (PDF).

Artikkel skrevet i 2022 av K. K. Arnesen i Tangenten om generisk eksempel (PDF).

Nedenfor følger et kort sammendrag av hovedbegrepene om bevis og argumentasjon som beskrives i denne litteraturen. Det er de samme begrepene som presenteres for studentene gjennom de to første introduksjonsøktene.

En hypotese er en påstand som vi tror er sann, men som må undersøkes nærmere, og argumenteres for. Et argument er ikke nødvendigvis det vi kaller matematisk gyldig eller korrekt, men hvis de er begge deler, kaller vi dem bevis. A. Stylianides (2007) har definert et bevis som et matematisk argument som

• tar utgangspunkt i matematiske definisjoner, sammenhenger og resultater som er gyldige, kjente eller tidligere bevist i det gitte fellesskapet og ikke trenger ytterligere begrunnelse
• har en matematisk gyldig argumentasjonsform som er kjent eller innen rekkevidde for det gitte fellesskapet
• har en uttrykksform som er passende for innholdet i argumentet, kjent eller innen rekkevidde for det gitte fellesskapet

Med denne definisjonen forener Stylianides matematiske og sosiale krav til hva et bevis er. Beviset må både være matematisk gyldig og korrekt og kun inneholde elementer som er kjent for fellesskapet. I skolesammenheng vil uttrykksformene gjerne være illustrasjoner eller muntlige forklaringer. G. Stylianides (2008) mener de følgende argumentasjonsformene er aktuelle i skolen:

• Empiriske argumenter: En påstand ser ut til å stemme for noen eksempler, da må den alltid stemme.
• Redegjørelser: Inneholder ideer eller elementer som gjør det til mer enn et empirisk eksempel, men det henger ikke sammen på en gyldig måte.
• Generiske eksempler: Får fram en idé gjennom et eller flere eksempler, og argumenterer for at dette skjedde uavhengig av det konkrete eksempelet.
• Generelle logiske slutninger: Logisk tankerekke (deduksjon) som utføres i det generelle tilfellet, gjerne ved bruk av algebraisk notasjon.

De to første er ikke matematisk gyldige, mens de to siste er det. Generiske eksempler vil ofte være særlig tilgjengelige i skolen, fordi de tydelig viser hvorfor noe er sant – det er bevis som forklarer og overbeviser (referanse?). Men også generelle logiske slutninger kan uttrykkes på en måte som er tilgjengelige for elever. En femte (ikke-gyldig) argumentasjonsform som forekommer hos elever, er «referanse til autoritet», altså at noen man stoler på, som en lærer, foreldre, medelever eller læreboka, hevder at det stemmer (se Harel & Sowder, 2007).

Hva slags argument man tar i bruk, er også avhengig av hvilken type hypotese man jobber med (Stylianides & Ball, 2008). Oftest snakker vi om generelle hypoteser, altså hypoteser som gjelder for en uendelig stor klasse av matematiske objekter. Slike kan kun bevises gjennom generiske eksempler eller generelle logiske slutninger. I skolen skal man også argumentere for svar på enkeltoppgaver, som er hypoteser for enkelttilfeller, og ofte (for eksempel i kombinatorikkoppgaver) jobber man med hypoteser som gjelder for et endelig antall eksempler. Disse valideres gjennom systematisk utprøving eller ved å kun vise til matematiske egenskaper for enkelttilfellet. I ressursene skiller vi mellom disse tre typene fordi de medfører ulik kompleksitet og ulike tilnærminger i skolen.

Referanser

Arnesen, K. K. & Rø, K. (2022). The complexity of supporting reasoning in a mathematics classroom of shared authority. Mathematical thinking and learning.

Balacheff, N. (1988). A study of students' proving processes at the junior high school level. In Second UCSMP international conference on mathematics education. NCTM.

Harel, G. & Sowder, L. (2007). Toward comprehensive perspectives on the learning and teaching of proof. I F.K. Lester (ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning, 2, 805–842.

Jeannotte, D. & Kieran, C. (2017). A conceptual model of mathematical reasoning for school mathematics. Educational Studies in Mathematics, 96(1), 1–16.

Stylianides, A. J. (2007). Proof and proving in school mathematics. Journal for research in Mathematics Education, 38(3), 289–321.

Stylianides, A.J. & Ball, D.L. (2008). Understanding and describing mathematical knowledge for teaching: knowledge about proof for engaging students in the activity of proving. J Math Teacher Educ 11, 307–332.

Stylianides, G. J. (2008). An analytic framework of reasoning-and-proving. For the learning of mathematics, 28(1), 9–16.

Lisenskode

CC BY 4.0

Se flere læringsressurser fra Institutt for lærerutdanning.