GeoGebra

Vi kan dele GeoGebra sin funksjonalitet inn i flere deler. Vi har regnearket, geometri i 2D, geometri i 3D og CAS.

Innledning

Digitale verktøy blir stadig mer og mer aktuelle i skolen. I matematikkfaget finnes det etterhvert mange digitale verktøy som er ment for å fremme forståelsen til elevene. Et av programmene som er blitt tatt godt i mot både av lærere og elever er GeoGebra. Dette er et dynamisk matematikkprogram som gir mange muligheter innenfor geometri, regneark, graftegning og andre beregninger (geogebra.org). Vi vil i denne oppgavene ta for oss CAS-verktøyet i GeoGebra, og hvilke muligheter dette verktøyet gir.

Digitale hjelpemidler i matematikkundervisningen

Bruk av digitale hjelpemidler har gitt mange nye muligheter innenfor matematikkundervisningen. Goldenberg (2000) skriver at bruk av datamaskiner i undervisningen gjør noen problemer og temaer mer tilgjengelige for elevene. I tillegg gir det nye måter å representere og håndtere matematisk informasjon på. Han påpeker også at på høyere klassetrinn er det mange matematiske idéer som ikke har fysiske modeller. Datamaskiner kan gi alternative representasjoner der det ikke eksisterer fysiske enheter (Goldenberg, 2000).

Hudson (2014) trekker frem at når man kombinerer menneskelig kommunikasjon med bruk av datamaskin, kan man forbedre undervisningen og forsikre høy måloppnåelse for alle elevene. Når elever arbeider med likninger og grafer ved å bruke blyant og papir, arbeider de med et statisk medium. Det som er skrevet er satt og kan ikke endres. Dersom de heller tar i bruk en datamaskin, er dette et medium som det er mulig å endre på. Da er mediumet dynamisk. Et eksempel på dette er er når elever plotter algebraiske likninger inn i GeoGebra (Kaput, 1992). Når elever tar i bruk et dataprogram fremfor å skrive for hånd, fører det til at de kan få mange erfaringer og se mange eksempler på kort tid. Det bidrar blant annet til at dataprogrammet tar seg av mange av de tidskrevende mellomregningene som må gjøres (Kaput, 1992). Lesh (1987) i Kaput (1992) antyder at en kombinasjon av symbolske beregninger, bruk av kalkulator og grafbehandlingsprogrammer har positiv innvirkning på elevers konseptuelle læring uten at de mister symbolske regneferdigheter. På samme tid kan det være problematisk at de fleste grafiske verktøyene fungerer uten å oppgi hvilke regneoperasjoner som skjer (Kaput, 1992). Goldenberg (2000) poengterer også denne problematikken. Ved å bruke kalkulator eller data for å utforske og lage forklaringer om et mønster eller om algebraiske beregninger, minskes arbeidet når det kommer til å gjøre symbolske manipulasjoner. Problemet ligger i at de ikke alltid forstår hvorfor svaret blir som det blir, i og med at de ikke gjør beregningene selv. Kaput understreker viktigheten av at elevene oppdager de matematiske sammenhengene før de tar i bruk digitale verktøy (Kaput, 1992).

“Learning isn’t accomplished by putting thoughts into a mind, but rather by enpowering a mind to generate thoughts” (Hudson, 2014).

Når man skal ta i bruk et teknologisk verktøy, må man spørre seg om denne teknologien blir brukt for å løse et problem eller til å hjelpe studentene med å tenke over et problem, analysere en prosess eller generalisere et bevis. Er teknologiens rolle å ta plassen til en evne eleven må utvikle på en annen måte eller skal teknologien utvikle elevenes evner til å tenke, uavhengig av teknologien? Forskning har vist at å bruke teknologi for å lære higher-order thinking (resonnering, problemløsning og logisk tenkning) er positivt relatert til matematisk forståelse, mens det å bruke teknologi til å lære bort lower-order thinking (drilloppgaver og faktakunnskap), er negativt relatert til matematisk forståelse (Goldenberg, 2000).

CAS-verktøyet i GeoGebra

CAS-verktøet (Computer Algebra System) i GeoGebra lar deg gjøre symbolske beregninger. Verktøyet lar deg blant annet utføre primtallsanalyse, faktorisering og utvidelse av uttrykk, løse likninger og likningssett med en eller flere ukjente, utføre derivasjon, integrere og utføre polynomdivisjon.

Når vi skal bruke CAS-verktøyet må vi starte med å hente fram verktøylinjen.

Faktorisering og utvidelse av uttrykk

Faktoriseringsverktøyet gir to muligheter. Det ene er å faktorisere heltall, og det andre er å faktorisere algebraiske uttrykk. Hvis vi ønsker å faktorisere uttrykket x³ – 13x + 12, tar vi i bruk kommandoen faktoriser som er det fjerde ikonet i verktøylinjen. Først skriver vi inn uttrykket eller det tallet vi ønsker å faktorisere i CAS-feltet. Deretter trykker vi på faktoriser-kommandoen.

Faktoriseringsverksøyet gir også mulighet til å regne sammen parentesuttrykk. Da tar vi i bruk regn ut-kommandoen (ikonet til høyre i sirkelen).

Likninger

Dersom vi skal løse likningen 6x + 10 = 4x + 6, starter vi med å skrive likningen inn i CAS-feltet og trykke på enter. Hvis man trykker på sirkelen til venstre for uttrykket vil det komme opp en loddrett linje gjennom den x-verdien som er løsningen på likningen.

Likningssett med flere ukjente

For å løse likningssett benytter vi oss også av løs-kommandoen. Ønsker vi for eksempel å løse likningssettet;

skriver vi inn løs i CAS-feltet, og velger alternativet liste med likninger. Deretter fyller vi inn opplysningene.

Dersom man ønsker svaret som desimaltall kan man klikke på ikonet (ikon nummer 4 på bildet over) for numerisk løsning (avrunding).

Derivasjon

Det er også mulig å utføre derivasjon i GeoGebra. Dette kan for eksempel gjøres med uttrykket a*sin(x)/b*x. Uttrykket skrives inn i CAS-feltet, og deretter trykker man på ikonet for den deriverte. Når man trykker på pilen på ikonet, kommer det opp to alternativer: derivert og integral. Vi velger da i dette tilfellet derivert.

dette eksempelet fant vi den førstederiverte av et uttrykk. Det er også mulig å finne den andrederiverte. Vi kan da ta for oss uttrykket: (t2- 7t)/(t+2). Vi velger da kommandoen Derivert ved å begynne å skrive ordet derivert i CAS-feltet. Da kommer det opp ulike alternativer, og i dette tilfellet velges den øverste, som er Derivert[<Uttrykk>]. Deretter skrives uttrykket inn.

 Integralregning

 Det er også mulig å utføre integralregning i GeoGebra og både finne bestemte og ubestemte integral. Dersom man vil finne det bestemte integralet til sin(x)*cos(x) kan det gjøres på to ulike måter. Den første måten er å skrive uttrykket inn i CAS-feltet og deretter trykke på pilen på det samme ikonet som når man skal derivere, bare at nå velger man det andre alternativet som dukker opp, som er Integral. Man kan også løse det med å skrive inn kommandoen Integral inn i CAS-feltet, velge det øverste alternativet og skrive inn uttrykket.

Differanselikninger i CAS-verktøyet

CAS-verktøyet gir også mulighet til å løse differensiallikninger. Ønsker man for eksempel å løse differensiallikningen y’ - 4y = 8 starter man med å skrive inn løsODE i CAS-feltet og skriver inn likningen. Deretter trykker man enter, og den generelle løsningen for likningen vil komme opp.

Verktøyet gir også mulighet til å finne den spesielle løsningen til en differensiallikning. Når vi ønsker å gjøre dette må vi i tillegg til differanselikningen legge inn hvilke x- og y-verdi vi ønsker at svaret skal ta utgangspunkt i:

Løsningen vi får oppgitt er den spesielle løsningen for likningen når x= 0 samtidig som y=5.

 
Drøfting

Etter å ha prøvd ut CAS-verktøyet i GeoGebra ser vi at det er flere fordeler med å benytte seg av programmet, først og fremst ved at vi gjennom å benytte programmet får tilgang til flere ulike representasjoner. Elevene får rask tilgang til flere representasjoner og eksempler ved å plotte inn en representasjon. Eksempelvis kan vi trekke fram det å skrive inn algebraiske uttrykk. Ved å faktorisere og utvide uttrykket kan vi få fram at uttrykk kan skrives på forskjellige måter. Dette kan programmet bekrefte ved at man trykker fram grafen for det aktuelle uttrykket, og ser at grafene blir like. En utfordring i dette tilfellet er at elevene ikke nødvendigvis har forståelse for hvordan to ulike uttrykk kan bety det samme (mangler mellomregninger). Ved å sammenlikne et uttrykk med den tilhørende grafen, kan elevene få forståelse for hva de ulike sifrene i uttrykket betyr. Et eksempel er dersom man har uttrykket x3- 13x + 12. Ved å endre på det siste tallet i uttrykket (12), kan elevene få en visuell fremstilling av hva dette tallet står for ved å se på grafen. De vil da kunne se at dette tallet forteller hvor grafen skjærer y-aksen.

I skolesammenheng mener vi at programmet er nyttig dersom det blir brukt på riktig måte og dersom læreren har en klar hensikt med at elevene skal bruke det. Hvis oppgaveløsningen bærer preg av drøfting og diskusjon, der det er fokus på å forstå det som skjer fremfor å kun plotte inn og se svaret, er det større sannsynlighet for at det bidrar til læring. Det er viktig at programmet ikke brukes som et verktøy for å erstatte elevenes regnekunnskaper, men at det kommer i tillegg for å gi en dypere og mer helhetlig forståelse. Noe vi ser på som en stor styrke med programmet, er at elevene kan få en visuell fremstilling av algebraiske, abstrakte uttrykk. Både for lærere, elever og foresatte er GeoGebra et program som er lett tilgjengelig. Det er enkelt å laste ned programvaren gratis, og i tillegg ligger det mange manualer for programmets ulike funksjoner på nett.

Ressurssider: Norsk GeoGebra-institutt, Matematikksenteret 

Kildeliste: geogebra.org, (u.d), hentet 25,02,2016 fra: http://www.geogebra.org/about Goldenberg, E. P. (2000). Thinking (And Talking) About Technology in Math Classrooms Education Development Center, Inc. O. Issues in Mathematics Education Hudson, T. (2014). Best Practices for Evaluating Digital Curricula. Dreambox Learning, Inc. Kaput, J. J. (1992). Technology and mathematics education. In D. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 515-556). New York: Macmillan Publishing Company.