Vi kan dele GeoGebra sin funksjonalitet inn i flere deler. Vi har regnearket, geometri i 2D, geometri i 3D og CAS.
Innledning
Digitale verktøy blir stadig mer og mer aktuelle i skolen. I matematikkfaget finnes det etterhvert mange digitale verktøy som er ment for å fremme forståelsen til elevene. Et av programmene som er blitt tatt godt i mot både av lærere og elever er GeoGebra. Dette er et dynamisk matematikkprogram som gir mange muligheter innenfor geometri, regneark, graftegning og andre beregninger (geogebra.org). Vi vil i denne oppgavene ta for oss CAS-verktøyet i GeoGebra, og hvilke muligheter dette verktøyet gir.
Bruk av digitale hjelpemidler har gitt mange nye muligheter innenfor matematikkundervisningen. Goldenberg (2000) skriver at bruk av datamaskiner i undervisningen gjør noen problemer og temaer mer tilgjengelige for elevene. I tillegg gir det nye måter å representere og håndtere matematisk informasjon på. Han påpeker også at på høyere klassetrinn er det mange matematiske idéer som ikke har fysiske modeller. Datamaskiner kan gi alternative representasjoner der det ikke eksisterer fysiske enheter (Goldenberg, 2000).
Hudson (2014) trekker frem at når man kombinerer menneskelig kommunikasjon med bruk av datamaskin, kan man forbedre undervisningen og forsikre høy måloppnåelse for alle elevene. Når elever arbeider med likninger og grafer ved å bruke blyant og papir, arbeider de med et statisk medium. Det som er skrevet er satt og kan ikke endres. Dersom de heller tar i bruk en datamaskin, er dette et medium som det er mulig å endre på. Da er mediumet dynamisk. Et eksempel på dette er er når elever plotter algebraiske likninger inn i GeoGebra (Kaput, 1992). Når elever tar i bruk et dataprogram fremfor å skrive for hånd, fører det til at de kan få mange erfaringer og se mange eksempler på kort tid. Det bidrar blant annet til at dataprogrammet tar seg av mange av de tidskrevende mellomregningene som må gjøres (Kaput, 1992). Lesh (1987) i Kaput (1992) antyder at en kombinasjon av symbolske beregninger, bruk av kalkulator og grafbehandlingsprogrammer har positiv innvirkning på elevers konseptuelle læring uten at de mister symbolske regneferdigheter. På samme tid kan det være problematisk at de fleste grafiske verktøyene fungerer uten å oppgi hvilke regneoperasjoner som skjer (Kaput, 1992). Goldenberg (2000) poengterer også denne problematikken. Ved å bruke kalkulator eller data for å utforske og lage forklaringer om et mønster eller om algebraiske beregninger, minskes arbeidet når det kommer til å gjøre symbolske manipulasjoner. Problemet ligger i at de ikke alltid forstår hvorfor svaret blir som det blir, i og med at de ikke gjør beregningene selv. Kaput understreker viktigheten av at elevene oppdager de matematiske sammenhengene før de tar i bruk digitale verktøy (Kaput, 1992).
“Learning isn’t accomplished by putting thoughts into a mind, but rather by enpowering a mind to generate thoughts” (Hudson, 2014).
Når man skal ta i bruk et teknologisk verktøy, må man spørre seg om denne teknologien blir brukt for å løse et problem eller til å hjelpe studentene med å tenke over et problem, analysere en prosess eller generalisere et bevis. Er teknologiens rolle å ta plassen til en evne eleven må utvikle på en annen måte eller skal teknologien utvikle elevenes evner til å tenke, uavhengig av teknologien? Forskning har vist at å bruke teknologi for å lære higher-order thinking (resonnering, problemløsning og logisk tenkning) er positivt relatert til matematisk forståelse, mens det å bruke teknologi til å lære bort lower-order thinking (drilloppgaver og faktakunnskap), er negativt relatert til matematisk forståelse (Goldenberg, 2000).
CAS-verktøyet i GeoGebra
CAS-verktøet (Computer Algebra System) i GeoGebra lar deg gjøre symbolske beregninger. Verktøyet lar deg blant annet utføre primtallsanalyse, faktorisering og utvidelse av uttrykk, løse likninger og likningssett med en eller flere ukjente, utføre derivasjon, integrere og utføre polynomdivisjon.
Når vi skal bruke CAS-verktøyet må vi starte med å hente fram verktøylinjen.
Faktoriseringsverktøyet gir to muligheter. Det ene er å faktorisere heltall, og det andre er å faktorisere algebraiske uttrykk. Hvis vi ønsker å faktorisere uttrykket x³ – 13x + 12, tar vi i bruk kommandoen faktoriser som er det fjerde ikonet i verktøylinjen. Først skriver vi inn uttrykket eller det tallet vi ønsker å faktorisere i CAS-feltet. Deretter trykker vi på faktoriser-kommandoen.
Faktoriseringsverksøyet gir også mulighet til å regne sammen parentesuttrykk. Da tar vi i bruk regn ut-kommandoen (ikonet til høyre i sirkelen).
Likninger
Dersom vi skal løse likningen 6x + 10 = 4x + 6, starter vi med å skrive likningen inn i CAS-feltet og trykke på enter. Hvis man trykker på sirkelen til venstre for uttrykket vil det komme opp en loddrett linje gjennom den x-verdien som er løsningen på likningen.
For å løse likningssett benytter vi oss også av løs-kommandoen. Ønsker vi for eksempel å løse likningssettet
skriver vi inn løs i CAS-feltet, og velger alternativet liste med likninger. Deretter fyller vi inn opplysningene.
Dersom man ønsker svaret som desimaltall kan man klikke på ikonet (ikon nummer 4 på bildet over) for numerisk løsning (avrunding).
Det er også mulig å skrive inn likningene i hver sin linje. Man kan deretter merke begge ved å klikke på den ene (i det blå feltet til venstre), holde Ctrl-tasten inne og så klikke på den andre. Trykk så på knappene for løs likning (eksakt eller numerisk). Det er da også mulig å få tegnet grafene til de to likningene ved å klikke på de hvite prikkene. Ved å klikke på den hvite prikken ved løsningen kan man også få løsningene markert som punkter i koordinatsystemet. Se figurer nedenfor.
Derivasjon
Det er også mulig å utføre derivasjon i GeoGebra. Dette kan for eksempel gjøres med uttrykket a*sin(x)/b*x. Uttrykket skrives inn i CAS-feltet, og deretter trykker man på ikonet for den deriverte. Når man trykker på pilen på ikonet, kommer det opp to alternativer: derivert og integral. Vi velger da i dette tilfellet derivert.
dette eksempelet fant vi den førstederiverte av et uttrykk. Det er også mulig å finne den andrederiverte. Vi kan da ta for oss uttrykket: (t2- 7t)/(t+2). Vi velger da kommandoen Derivert ved å begynne å skrive ordet derivert i CAS-feltet. Da kommer det opp ulike alternativer, og i dette tilfellet velges den øverste, som er Derivert[<Uttrykk>]. Deretter skrives uttrykket inn.
Det er også mulig å bruke f'(x) direkte, enten for å finne den deriverte eller i likninger, f.eks. f'(x)=2.
Integralregning
Det er også mulig å utføre integralregning i GeoGebra og både finne bestemte og ubestemte integral. Dersom man vil finne det bestemte integralet til sin(x)*cos(x) kan det gjøres på to ulike måter. Den første måten er å skrive uttrykket inn i CAS-feltet og deretter trykke på pilen på det samme ikonet som når man skal derivere, bare at nå velger man det andre alternativet som dukker opp, som er Integral. Man kan også løse det med å skrive inn kommandoen Integral inn i CAS-feltet, velge det øverste alternativet og skrive inn uttrykket.
Differanselikninger i CAS-verktøyet
CAS-verktøyet gir også mulighet til å løse differensiallikninger. Ønsker man for eksempel å løse differensiallikningen y’ - 4y = 8 starter man med å skrive inn løsODE i CAS-feltet og skriver inn likningen. Deretter trykker man enter, og den generelle løsningen for likningen vil komme opp.
Verktøyet gir også mulighet til å finne den spesielle løsningen til en differensiallikning. Når vi ønsker å gjøre dette må vi i tillegg til differanselikningen legge inn hvilke x- og y-verdi vi ønsker at svaret skal ta utgangspunkt i:
Løsningen vi får oppgitt er den spesielle løsningen for likningen når x= 0 samtidig som y=5.
En nyttig funksjon i GeoGebra er muligheten for å finne den beste tilpassede funksjonen til et sett med punkter. Om man har en liste med punkter, eksempelvis innbyggertall i en by, kan GeoGebra regne ut - og vise grafisk en funksjon som modellerer en prognose for videre befolkningsvekst.
Man skriver inn dataene i GeoGebras regneark. Deretter velger man kommandoen Lliste med punkt. Så kan man skrive RegLin (den aktuelle listen) for en lineær funksjon eller RegPoly (den aktuelle listen) og polynomsgrad for en polynomsfunksjon. Disse kommandoene er særlig nyttig i modelleringsoppgaver.
Drøfting
Etter å ha prøvd ut CAS-verktøyet i GeoGebra ser vi at det er flere fordeler med å benytte seg av programmet, først og fremst ved at vi gjennom å benytte programmet får tilgang til flere ulike representasjoner. Elevene får rask tilgang til flere representasjoner og eksempler ved å plotte inn en representasjon. Eksempelvis kan vi trekke fram det å skrive inn algebraiske uttrykk. Ved å faktorisere og utvide uttrykket kan vi få fram at uttrykk kan skrives på forskjellige måter. Dette kan programmet bekrefte ved at man trykker fram grafen for det aktuelle uttrykket, og ser at grafene blir like. En utfordring i dette tilfellet er at elevene ikke nødvendigvis har forståelse for hvordan to ulike uttrykk kan bety det samme (mangler mellomregninger). Ved å sammenlikne et uttrykk med den tilhørende grafen, kan elevene få forståelse for hva de ulike sifrene i uttrykket betyr. Et eksempel er dersom man har uttrykket x3- 13x + 12. Ved å endre på det siste tallet i uttrykket (12), kan elevene få en visuell fremstilling av hva dette tallet står for ved å se på grafen. De vil da kunne se at dette tallet forteller hvor grafen skjærer y-aksen.
I skolesammenheng mener vi at programmet er nyttig dersom det blir brukt på riktig måte og dersom læreren har en klar hensikt med at elevene skal bruke det. Hvis oppgaveløsningen bærer preg av drøfting og diskusjon, der det er fokus på å forstå det som skjer fremfor å kun plotte inn og se svaret, er det større sannsynlighet for at det bidrar til læring. Det er viktig at programmet ikke brukes som et verktøy for å erstatte elevenes regnekunnskaper, men at det kommer i tillegg for å gi en dypere og mer helhetlig forståelse. Noe vi ser på som en stor styrke med programmet, er at elevene kan få en visuell fremstilling av algebraiske, abstrakte uttrykk. Både for lærere, elever og foresatte er GeoGebra et program som er lett tilgjengelig. Det er enkelt å laste ned programvaren gratis, og i tillegg ligger det mange manualer for programmets ulike funksjoner på nett.
En ulempe med programmet er at mange skoler benytter seg av google som læringsplatform, og at GeoGebra knyttes direkte til clasroom og på plattformen. Dette medfører at arbeidet lagres i en sky, og ikke direkte på maskinen. Dermed er man også avhenging av nettverkstilgang til en hver tid, for å kunne hente frem det man arbeider med. En annen kritikk mot programmet er at det har fått en ny layout som ikke anses som like intuitiv som de tidligere versjonene. Disse to faktorene skaper stor frustrasjon i klasserommet, økt tidsbruk uten faglig utbytte.
En av fordelene med den ny layouten er imidlertid at søkefunksjonen er knyttet opp mot en stor database, med et stort mangfold av eksempler, oppgaver illustrasjoner osv., og oppleves derfor som en stor ressurs.
Ressurssider: Norsk GeoGebra-institutt, Matematikksenteret
Kildeliste: geogebra.org, (u.d), hentet 25,02,2016 fra: http://www.geogebra.org/about Goldenberg, E. P. (2000). Thinking (And Talking) About Technology in Math Classrooms Education Development Center, Inc. O. Issues in Mathematics Education Hudson, T. (2014). Best Practices for Evaluating Digital Curricula. Dreambox Learning, Inc. Kaput, J. J. (1992). Technology and mathematics education. In D. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 515-556). New York: Macmillan Publishing Company.
8 Comments
Unknown User (jonastf)
Min erfaring med bruk av GeoGebra i matematikkundervisningen er at elevene kan bruke det til mye, men at de ofte ikke forstår matematikken bak det. Hvordan kan man praktisk bruke GeoGebra til å øke elevenes relasjonelle forståelse av et matematisk tema, og ikke bare den instrumentelle?
Unknown User (leneror)
Har dere gjort dere noen tanker om hvorfor geogebra hele tiden kommer med nye versjoner? Lager ikke dette uforutsigbarhet for elevene? Annenhver gang elevene logger på har programmet fått noe nytt på utseende, eller en ny funksjon. Tenker dere at det er viktig at programmet oppdateres såpass ofte som det gjør? og et annet spørsmål; har dere forslag til hvordan vi skal "kurse" ungdomsskolelærer i programmet. I min jobb opplever jeg at det er mange matematikklærere som er amatører på geogebra, og av den grunn bruker programmet altfor lite. Holder det med "nettkurs" for lærere for at vi skal ha optimalt utbytte av verktøyet?
Øistein Gjøvik
GeoGebra kommer i nye versjonar så ofte at ein som lærar er tvinga til å bruke det meir i klasserommet...
Unknown User (haavasor)
Jeg synes Geogebra er et flott verktøy å bruke i matematikkundervisningen. Jeg tror det er nyttig for elevene at det blir gode diskusjoner av Geogebra-arbeidet og at læreren legger til rette for at elevene kan diskutere med hverandre om hva som ligger bak selve utregningene/svarene. På den måten kan Geogebra fungere som et godt verktøy i klasserommet. Et spørsmål til slutt: Hvordan kan man tilpasse arbeidet med Geogebra på best mulig måte til elever som jobber saktere med programmet?
Unknown User (lailaom)
Min erfaring med geogebra og cas er at det ofte blir et verktøy der elevene lærer seg en "oppskrift" for hvordan ulike typer oppgaver skal løses, og der tolkningen eller forståelsen av det som foregår ofte faller bort. Derfor tenker jeg at det er viktig at oppgavene man gir elevene også tvinger frem slike tanker.
Unknown User (gurobern)
GeoGebra er brukervennlig og passer godt til ungdomsskolen, da spesielt til grafer og konstruksjoner. Min erfaring er at CAS er lite brukt på ungdomsskoler i Norge. Jeg mener dette verktøyet kan forvirre mer enn det nødvendigvis hjelper på det pensumet som er i ungdomsskolen i dag. Hvis man jobber med det helt grunnleggende innenfor ligninger synes jeg det er bedre å gjøre hele operasjonen selv for å få en større forståelse for hva man gjør. Når man løser slike ligninger i CAS blir det, som Laila skriver fort en "oppskrift" for hvordan man løser slike oppgaver.
Unknown User (kenthst)
Min erfaring er at Geogebra er et godt verktøy for elevene til å oppnå målene fra Kunnskapsløftet som omhandler å tegne grafer digitalt. Ved å benytte seg av glidere og lignende kan elevene på egenhånd få anledning til å utforske for eksempel stigningstall og konstantleddet i et funksjonsuttrykk. I tillegg benytter mange elever seg av konstruksjonsverktøyet i Geogebra. Men det er nok et poeng at man må bruke tid på å la elevene reflektere over hva de gjør, diskutere det og gjerne også sette det i sammenheng med "vanlig" konstruksjon med passer.
CAS er derimot et verktøy jeg ikke har fått helt til å fungere. Det er mange funksjoner i dette verktøyet, og elevene forstår ikke helt hvordan de kan nyttiggjøre seg av CAS. Noen elever mestrer CAS, men, ut fra egne erfaringer, blir elevene lett forvirret og "går seg vill". Dermed vet jeg ikke hvor hensiktsmessig det er å bruke CAS i ungdomsskolen. Kanskje er det et større potensiale for bruk av verktøyet i videregående skole?
Unknown User (nakim)
Det er faktisk obligatorisk med CAS i noen av matematikkfagene i videregående. Jeg mener også at det har et stort potensiale i at det kan flytte fokus fra beregning til problemløsning. Begge deler er viktig, men ofte kan beregning bli så i fokus at det ikke blir tid til å tenke på problemet. Jeg liker spesielt oppgaver der elevene skal sette opp et likningssett gitt betingelser i oppgaven, der det er det å sette opp likningene er den interessante utfordringen, mens det å løse likningssettet kan gjøres av CAS. Det er noen utfordringer med stabilitet, men det er nesten slik at det eneste de trenger er x=-knappene.