Desmos

For å oppnå sin visjon startet de arbeidet med å bygge det de selv har valgt å kalle “the next generation of the graphing calculator”. Graf-verktøyet er nettbasert og er drevet av en lynrask matematikk-motor. Dette gjør at kalkulatoren meget raskt plotter inn hvilken som helst funksjon, fra rette linjer til parabler opp til derivater og Fourierserier.

Ved å være basert på HTML5 fungerer kalkulatoren på alt fra pc, Mac, mobil og tablet uten å kreve tilleggsnedlastinger. Desmos er intuitiv, vakker matematikk.

Muligheter og begrensninger

Muligheter

Desmos er en web-basert graf kalkulator med et godt design og et intuitivt grensesnitt. Det er mulig å laste ned en skrivebordversjon av programmet, men vi kommer til å fokusere på web-versjonen. 

Fig 1 Brukergrensesnittet i Desmos-kalulatoren Slik ser det ut når du åpner kalkulatoren for første gang. Desmos muliggjør oppkobling mot eksisterende google-konto og gjør det enkelt å lagre arbeidet ditt i google drive. Nedenfor ønsker vi å belyse de ulike mulighetene programvaren byr på.

Plotting av graf

Desmos strekker seg langt etter å forstå hva eleven prøver å plotte inn og gir ofte forståelige feilmeldinger som setter eleven inn på riktig spor. Funksjonen vi har plottet inn ovenfor gir umiddelbart respons i koordinatsystemet. Det er også mulig å lese av x- og y-verdier ved å holde musepekeren over punktet på grafen.

Sliders

Som et eksempel på de forståelige feilmeldingene vi nevnte ovenfor kan vi se hva som skjer dersom vi prøver å skrive inn en udefinert variabel.

Her kommer kalkulatoren med forslag til en løsning på problemet. En annnen funksjon(i Desmos) som kommer frem i dette eksempelet er muligheten til å lage glidere for flere variabler. Ved å skrive inn en generell funksjon på formen y=ax+b foreslår kalkulatoren at den skal lage glidere til de udefinerte variablene. For eksempel:

Ved å trykke på enten a, b eller all dukker det opp glidere under som gjør at vi enkelt kan justere verdiene til de to variablene, og på samme tid observere hva som skjer med den korresponderende grafen.

Mapper

Desmos gir mulighet til å strukturere arbeidet ditt i mapper dersom du jobber med mange ulike funksjoner og tabeller innenfor samme prosjekt. Dette er også kjekt for lærere som har et ønske om å vise frem eksempler fra ulike kategorier av funksjoner.

Her er det altså mulig å dele inn prosjektet i ulike mapper og de ulike funksjonene eller tabellene kan enkelt skjules ved å trykke på mappeikonet markert med en rød pil (skjuler hele mappen) eller skjule hvert enkelt funksjonsutrykk ved å trykke på tilsvarende knapp ved siden av funksjonsutrykket.

Tabeller

Det er et godt og oversiktlig verktøy for å lage tabeller innebygget i Desmos. Det gir oss muligheten til å raskt plotte inn data vi har samlet inn i løpet av en time og raskt få oversatt det til et koordinatsystem. Her har man også muligheten til å endre fremvisningsmåte gjennom å trykke på det runde ikonet ved siden av y₁. Da har man mulighet til å trekker linje mellom punktene, vise kun punktene eller trekke linjer mellom punktene samtidig som de vises i koordinatsystemet. I tillegg kan man endre farge på punktene eller frigjøre dem slik at det er mulig å dra de rundt i koordinatsystemet - og på samme tid endre verdier i tabellen.

 Utseende

Det er mange muligheter for å endre farger og stiler på en graf. Dette ble nevnt ovenfor da vi tok for oss tabellene. Andre tilpasninger finner vi under “Graph settings”.

Her er det noen kjekke valg, og for å begynne øverst kan vi ta for oss projector mode. Når dette velges blir skrift og tall gjort større og dermed mer lesbart når det skal brukes i feks et klasserom som har en prosjektor med høy oppløsning. Videre har vi muligheten til å endre bakgrunnen slik at den representerer sirkler delt inn i radianer dersom det er ønskelig. Til sist er muligheten for å justere ratioen mellom aksene og hvor ofte punkter markeres på linja (step).

Lærerstyrte aktiviteter

I Desmos har læreren muligheten til å lage digitale oppgavesett av forskjellige slag, eller bruke allerede eksisterende sett med oppgaver. Det finnes en rekke aktiviteter som læreren kan engasjere elevene i og la elevene utforske egne løsningsmetoder. Det er en fin måte for elevene å utforske funksjoner og modellering på. Læreren har mulighet til å stoppe og starte oppgaveløsningen for elevene, og kan også begrense hvilke oppgaver i et sett som skal være tilgjengelig til enhver tid. På denne måten kan læreren kontrollere elevenes tempo, og sørge for at alle følger med når noe skal forklares eller diskuteres i plenum. 

Læreren kan også se aktiviteten til hver enkelt elev og har med dette muligheter til å trekke frem spesielle løsninger i plenum slik at elevene kan få diskutere hva som er bra eller dårlig med løsningen. Elevene har også muligheten til å se andres svar på oppgavene, noe som oppfordrer til samarbeid. De ser hva andre tenker, kan spørre hverandre spørsmål og også skape oppgaver og utfordringer for hverandre. Dette oppfordrer til å koble sammen elevene i stedet for at de isolert jobber en og en.

Her Har lærer oversikt over hvor de ulike elevene er, og kan også se hva de har gjort. Her har elevene sine vanlige navn.

Lærer kan velge å anonymisere elevene, da får de tilfeldige navn, som stammer fra en navn-bank desmos har laget, og består av kjente (og mindre kjente) mennesker fra vitenskapen.

Lærer kan velge mellom ulike skjermer som gir ulik informasjon om oppgaver og elever.

Oppsummering av fordelene med Desmos

• Lettfattelig brukergrensesnitt
• Oppfordrer til eksperimentering med funksjoner
• Kan erstatte håndholdte grafiske kalkulatorer.
• Veldig enkelt å lage glidere der det er ønskelig
• Enkelt å lagre og dele arbeidet ditt.
• I tillegg til å ha den grafiske kalkulatoren finnes det også andre øvelser innenfor matematisk modellering som kan gjennomføres på Desmos.com. Her er det også gode muligheter for læreren å bedrive digital klasseledelse, og få god oversikt over elevenes forståelse av temaet gjennom en oversikt som i sanntid oppdateres etterhvert som elevene jobber med oppgavene (denne delen av Desmos har vi ikke valgt å fokusere på).
• Lærer har mulighet til å gjennomføre økter med en elevgruppe.

Begrensninger

Desmos går ikke inn for å være stort mer enn en grafisk kalkulator, og det er også noe de har klart på en god måte. Det er derfor et ypperlig verktøy for å innføre funksjoner i et digitalt verktøy, da det er intuitivt og enkelt å fatte. Så langt vi har klart å se har ikke Desmos noe veldig unikt over seg og kan derfor lett erstattes med langt mer allsidige programmer slik som for eksempel GeoGebra. For å lage en kortfattet liste kan Desmos’ begrensninger beskrives slik:

• Begrenset bruksområde utover tabeller, funksjoner og koordinatsystemer.
• Liten mulighet for endre på instillinger (antall desimaler for eksempel)
• Kronglete å taste inn noen spesialsymboler
• Det er på Engelsk, og kan derfor kreve noe innføring i matematiske begreper.

Sjanger

Det er flere måter man kan kategorisere digitale verktøy på. En av disse er etter “modus” (Teodoro, 1993). De tre ulike modusene kan fremstilles slik:

Desmos lærer ikke opp elevene direkte. Elevene må selv skrive inn informasjon for at datamaskinen skal foreta seg noe. Samtidig er det ikke slik at elevene lærer desmos noe nytt under arbeidet. Desmos vil derfor havne under modusen tool. Teodoro (1993)beskriver denne modusen som en forflytning av rollen til penn og papir, noe som vi i noen grad kan si oss enige i. En del av det man kan bruke Desmos til er det liten tvil om at man kunne gjort med penn og papir i boka. Eksempler på dette er å lage en tabell og å plotte inn punkter i et koordinatsystem. Man kan også tegne inn grafer i et koordinatsystem for hånd. Desmos gjør derimot denne jobben mye raskere og enklere enn man klarer for hånd. I tillegg tilbyr Desmos en rekke funksjoner som vil være mye vanskeligere å gjøre uten et tilsvarende verktøy. Eksempler på dette er å utforske grafer. Med gliderfunksjonen kan man på en rask og enkel måte utforske og analysere hvordan grafer og funksjoner oppfører seg når man endrer ulike komponenter.

Når man snakker om digitale verktøy i matematikk kan man også se på graden av fleksibilitet i uttrykksform og i hvor stor grad verktøyet er tilspisset læreplanmål i matematikk. Sinclair og Jackiw (2005) har presentert dette i en todimensjonal modell:

De foreslår at det kan være en konflikt mellom de to dimensjonene da læreplanen tenderer til å gjøre kunnskapen diskret, mens fleksible matematiske uttrykk medfører koblinger mellom kunnskap i tillegg til mellom de involverte prosessene når man bruker kunnskapen. Hvorvidt dette stemmer overens med den nåværende norske læreplanen er en diskusjon som vi ikke ønsker å gå nærmere inn i her. Det vi kan være enige om er at det ville vært gunstig å finne verktøy som befinner seg lengst mulig opp mot høyre hjørne, og mindre relevant med verktøy som befinner seg i det nedre venstre hjørnet i modellen. Grafiske kalkulatorer (GC) er plassert i midten av modellen, da de er ganske godt tilpasset flere læreplanmål og har en rimelig fleksibel uttrykksform.

I denne oppgaven har vi tatt for oss den grafiske kalkulatoren Desmos, men mulighetene stopper ikke her. Om man besøker siden teacher.desmos.com finner man flere modelleringsoppgaver som man kan bruke i undervisningen. På dailydesmos.com legges det ut oppgaver med ulik vanskelighetsgrad som man kan løse i Desmos. Desmos er dessuten å finne på sosiale medier som Facebook og Twitter og de har lagt ut flere filmer på sin konto på Youtube.

Eksempel på aktivitet i Desmos

Utgangspunkt

Er funksjonene som er plottet inn nøyaktig nok, treffer ballene stjernene.

Det finnes flere varianter av Marbleslides. En variant er for eksempel beregnet for lineære funksjoner, mens en annen for eksponentialfunksjoner. En kan derfor smidig tilpasse vanskelighetsgraden til Marbleslides for bruk i undervisning.

Marbleslides kan også gjennomføres som en lærerstyrt aktivitet med en hel elevgruppe.

Aktiviteten Marbleslides kan som tidligere nevnt anses som et spill, men igjen har aktiviteten et stort potensialet når det kommer til elevenes forståelse av forhold og grafer. Her vil de raskt få presentert betydningen av endring i funksjonen og hvordan grafen til den tilhørende funksjonen vil se ut. Uten å ha fokus på hva som faktisk skjer når funksjonen endres, kan denne aktiviteten fort bli til at elevene bare prøver seg frem med nye tall, uten å faktisk tenke gjennom hva endringen betyr for grafen, noe som kan føre til et lavt læringsutbytte. På den andre siden vil det være en aktivitet som er artig for elevene å holde på, da matematikken nærmest blir til et spill. Det at matematikken kun blir til et spill, hvor læring ikke nødvendigvis er i sentrum, anser ikke vi som nevneverdig positivt, selvom det kan være motiverende for elevene å holde på med et digital matematisk verktøy på denne måten. En mulig løsning på denne utfordringen er jo at man som lærer faktisk gjør elevene oppmerksomme på hva små endringer i funksjonen gjør for grafens form, og gjerne viser dette med eksempler. Det kan føre til at elevene går mer strategisk og matematisk til verks når de endrer funksjonen for å få grafen til å treffe de ulike stjernene. 

Litteratur

Meyer, D. (2015, 15. desember). Marbleslides Is Here. Hentet fra: http://blog.mrmeyer.com/2015/marbleslides-is-here/

Sinclair, N., & Jackiw, N. (2005). Understanding and projecting ICT trends in mathematics education. I S. Johnston-Wilder, & D. Pimm, Teaching Secondary Mathematics with ICT (Kapittel 14). Open University Press.

Teodoro, V. D. (1993). A model to design exploratory software for science and mathematics. I D. M. Towne, T. de Jong, & H. Spada, Simulation-Based Experimental Learning (ss. 177-189). Heidelberg, Berlin: Springer Berlin Heidelberg.