Av Siv Hilmo Nestande og Monica Rehaug

Kvifor vi valde akkurat dette digitale verktøyet

Ettersom den eine forfattaren av denne analysen er ein sjølvoppnemnd brettspillnerd, så ser vi det som viktig å promotere gode spel som kan nyttast i matematikkundervisinga slik at andre og kan dra nytte av moglegheitene som finnast i brettspelverda. SET i digital utgåve er ikkje noko revolusjonerande, men ved å analysere den digitale utgåva av spelet, får me og sett lys på kva moglegheiter som ligg i bruk av den analoge utgåva. Fleire fagartiklar og til og med ei bok er skreve om matematikken i dette spelet.

Bakgrunn

Spelet er eit kortspel designa av Marsha Jean Falco frå Arizona. Ideen til spelet fekk Marsha i 1974 då ho prøvde å finne ut om epilepsi hjå Schæfer var arveleg. Ho dreiv då med genetisk forsking ved universitetet i Cambridge, England. Ho teikna symbol for dei ulike variasjonar av eigenskapar til hundane på kartotekkort for å sjå om det var spesielle kombinasjonar som førte til epilepsi. Det var medan ho skulle forklare dei matematiske eigenskapane bak dei ulike kombinasjonane til andre veterinærar, at ho såg det morosame i å finne desse kombinasjonane. Slik vart ideen bak spelet SET fødd. (SetEnterprisesInc., 2017)

Spelet finnast i analog utgåve (tilgjengeleg hos norske bokhandlarar), som app (ein gratis- og ein betalingsversjon) og på nettet som en digital versjon (gratis). Vi skal i denne analysen sjå på den digitale versjonen som finnast gratis på nettet.

Kva spelet går ut på

Det er totalt 81 unike i kort i spelet. Spelet går ut på å identifisere eit sett som består av tre kort, ut frå 12 kort som ligg ope. Kvart kort inneheld eit bilete som består av fire eigenskapar der det er tre variasjonar av kvar eigenskap.

• Eigenskap: farge. Variasjon: raud, grøn eller blå
• Eigenskap: form. Variasjon: ovalt, “squiggle/bønne” eller diamant
• Eigenskap: mengd. Variasjon: ein, to eller tre
• Eigenskap: fyll. Variasjon: fylt, stripete eller tom.

Eit sett består av tre kort der kvar av dei fire eigenskapane er enten den same på kvart kort eller forskjellig på kvart kort. Det vil seie at kvar eigenskap i eit sett av tre kort er enten den same på alle korta eller forskjellig på alle korta.

Døme på tre kort som er eit sett:

Alle dei tre korta har lik farge, alle har lik form, alle har lik mengd, alle har ulikt fyll.

Alle dei tre korta har ulik farge, alle har ulik form, alle har ulik mengd, alle har ulik fyll.

Døme på tre kort som ikkje er eit sett:

Alle dei tre korta har ulik farge, alle har lik form, alle har lik mengd, men to har ikkje fyll og ein har fyll.

Dei tre korta har verken lik eller ulik farge då to er raude og ein er grøn, men alle har lik form, alle har lik mengd, alle har ulikt fyll.

Digital versjon på nett

Spelet på nett finn du her: http://smart-games.org/en/set/start.

Spelet går ut på å klikke på tre kort som utgjer eit sett. Finn du eit korrekt sett så kjem det tre nye kort opp. Om du ikkje finn nokon sett blant korta (det kan skje), så kan du klikke på ”open 3 Cards” så får du lagt til tre nye kort. Du spel deg gjennom alle korta til du ikkje finn fleire sett.

Den digitale utgåva av spelet SET gjer ikkje mykje rom for variasjon, men spelet kan nyttast til å øve opp eigen dugleik i å finne sett. All matematikken som finnast i spelet kjem betre til syne om ein nyttar den analoge utgåva i klasserommet.

Ein annan variant som kan spelast på sida er SET-Scrabble, som er ein kombinasjon av SET og Scrabble.

Det er moglegheiter for å registrere seg på sida for å spele mot andre som er pålogga.

Vurdering av det digitale verktøyet for bruk i skulen

Den digitale utgåva av spelet SET er ikkje laga med tanke på bruk i skulen. Verktøyet fungerer mest likt som den analoge utgåva der den einaste fordelen er at brukaren slepp å blande og dele ut korta sjølv. Verktøyet gjer og beskjed om du finn eit sett som ikkje er eit sett. Ser me på dette verktøyet opp mot Ruben R. Puenteduras SAMR-modell (Hudson, 2014), så vil den digitale utgåva av spelet SET berre vere ei erstatning av den analoge utgåva med nokre forbetringar (augmentation). Fordelen med verktøyet er at det gjer lettare tilgang til spelet. Det tek kortare tid å kome i gang med eit spel og det er enklare å spele fleire gonger.

Bonk (2016) hevdar at læring (det å tilegne seg kunnskap) har endra seg etter teknologiens inntog i skulen. Han ser for seg tre hovudtrendar som gjer seg gjeldande. Den første er knytta til engasjement. I det legg han at i dag brukar mest alle mobilar eller nettbrett til å søkje opp informasjon, læring er meir tilgjengelig (hands-on). Vidare lærar mange betre gjennom visuelle stimuli enn gjennom tekst og mange aktivitetar på nett er touch-basert (nettbrett og mobilar) og læring er ofte spelbasert i form av at elevane får stjerner eller pokalar som viser framgang gjerne med umiddelbar respons. Den andre trenden er at vi har ein gjennomgripande tilgang til læring og utdanning. I det legg Bonk at læringa er meir tilgjengeleg online, både med omsyn på utdanning og læringsressursar. Den tredje trenden er at læring er meir tilpassa den einskilde. Det omhandlar blant anna moglegheitar for sjølv å velje når og kor ein vil tilegne seg kunnskap (MOOC).

Spelet SET i digital utgåve passar på fleire område inn i Bonk sine tankar om korleis me i dag kan tilegne oss kunnskap. Spelet er tilgjengeleg for alle når som helst, kor som helst, så lenge internettilgangen fungerar. Elevar som spelar spelet vil få umiddelbar respons om dei har funne eit sett eller ikkje og dei har moglegheitar til å spele mot andre frå heile verda.

Den digitale utgåva kan brukast for å gjere elevane kjende med spelet. For å få tilgang til mykje av matematikken i spelet som vi vil sjå på seinare, så kan det vere ein fordel å ha tilgang til ein analog utgåva av spelet.

Bruk av spelet i skulen

Forfattarane av boka The Joy of SET hevdar at SETs strategiske og unike design opnar samanhengar til ein overflod av matematiske disiplinar, inkludert geometri, modulorekning, diskret matematikk, kombinatorikk, sannsyn, lineær algebra og mengdelære (McMahon, 2017).

Spelet Set gjev grunnlag for å arbeide med fleire sider av matematikkfaget, både for elevar på mellomsteget og ungdomssteget. Under grunnleggjande ferdigheiter i faget matematikk står det blant anna under munnlege ferdigheiter at elevane skal ”vere med i samtalar, kommunisere idear og drøfte matematiske problem, løysingar og strategiar med andre” (Utdanningsdirektoratet, 2004). Vidare står det at ”å kunne rekne i matematikk inneber å bruke symbolspråk, matematiske omgrep, framgangsmåtar og varierte strategiar til problemløysing og utforsking som tek utgangspunkt både i praktiske, daglegdagse situasjonar og i matematiske problem” (Utdanningsdirektoratet, 2004).

Spelet Set kan gje grunnlag for at elevane kan delta i samtaler og drøfte matematiske problem, løysingar og strategiar med andre. Elevar kan og arbeide med varierte strategiar til problemløysing og utforsking med utgangspunkt i praktiske problem.

Spelet kan nyttast på ulike måtar alt etter elevane sine føresetnader. Nedanfor har me nokre forslag til korleis spelet kan nyttast i matematikkundervisninga.

Mellomsteget

For dei lågare trinna kan elevane fokusere mindre på det reknetekniske i spelet, men heller sjå på eigenskapane til korta, samt øve på å finne sett i spelet. Me tenkjer at spelet kan gje rom for samtalar  innanfor desse områda:

• Mønster
• Eigenskapar ved former
• Strategiar, det å arbeide systematisk, logikk
• Fleksibel, kreativ og kritisk tenking
• Analyse, samanlikning og samansetting
• Sannsyn
• Mengdelære
• Kombinatorikk

Ungdomssteget/vidaregåande skule

Her kan fokuset flyttast over til å sjå meir på sjølve matematikken som ligg i spelet. For å kunne arbeide med mange av forslaga nedanfor er det ein fordel at elevane har tilgang til ein analog utgåve av spelet, men den digitale utgåva kan sjølvsagt brukast for å øve opp eigen dugleik til å finne sett. Forslaga nedanfor er henta frå boka The Joy of Set (McMahon, 2017).

Teljing:

• Kor mange kort er det i spelet?
  • Talet på kort i spelet kan finnast ut frå opplysingane om at alle korta er unike og det er fire eigenskapar med tre variasjonar (kombinatorikk).
  • 3 x 3 x 3 x 3 = 3⁴ = 81
• Kor mange sett er det i spelet?
  • Ein føresetnad for å løyse dette er å kunne sjå at eit sett kan setjast saman på seks ulike måtar. Om vi har tre kort; a, b og c (som er eit sett) kan eit sett setjast samen på følgjande måtar:
    abc – acb – bac – bca – cab – cba
  • Ein annan føresetnad er FTS – The Fundamental Theorem of SET. Det tyder at om du har to vilkårlege kort, så finnast det eitt og berre eitt anna unikt kort som kompletterer eit sett
  • Talet på måtar å velje tre kort som er eit sett: 81 x 80 x 1 = 6480
  • Ettersom alle sett kan setjast samane på 6 ulike måtar, der desse utgjer berre eitt unikt sett, må me dividere på 6 for å eliminere dei like setta.
  • 81 x 80 x 1 / 3 x 2 x 1 = 1080
• Kor mange unike sett er eit tilfeldig kort ein del av?
  • Her kan elevane prøve seg fram med å telje alle førekomstane. Ein oversiktleg måte å gjere dette på er å teikne to kolonnar: der 1.kolonne inneheld dei 81 korta og 2.kolonne inneheld dei 1080 ulike setta. Set strek frå setta til kvart kort som er med i settet. Kvart sett har 3 strek ut frå seg. Dvs. 1080 x 3 strek. Alle korta har 81 x n strek. Me får da følgjande likning:
    
• Kor mange ulike måtar kan me trekkje tre kort?
  • Har 81 moglege kort for første trekk, 80 moglege kort for andre trekk og 79 moglege kort for tredje trekk. Må hugse å dividere på 6 for å eliminere like sett.
    
• Kor mange sett har 1, 2, 3 eller alle 4 eigenskapane ulike?
  • Her kan det lønne seg å starte med å sjå på sett der alle eigenskapane er ulike. Du vel eit tilfeldig kort: raud, oval, eit symbol, utan fyll. Då kan med eliminere alle kort som er raude, ovale, inneheld eit symbol og utan fyll. Det gjer oss to moglegheiter for farge, to moglegheiter for form, to moglegheiter for mengd og to moglegheiter for fyll. Talet på moglegheiter = 2 x 2 x 2 x 2
  • Det fører til at talet på måtar å velje to kort i rekkefølgje som ikkje har nokon eigenskapar felles er: 81 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1296.
  • Men me må hugse å dividere på 6 for å eliminere like sett. 1296 : 6 = 216
  • Litt meir rekning gjer oss denne oversikta:
    
• Kan me lage eit magisk kvadrat?
  • Magisk kvadrat har her ikkje same tyding som magisk kvadrat der sum loddrett/vassrett/diagonal er lik. Me skal her sjå på eit kvadrat med 9 kort (3 x 3), der alle rader, kolonnar og diagonalar inneheld sett.
  • Det er ein metode som alltid førar fram når ein skal lage eit slikt magisk kvadrat med korta i SET. Greier elevane å finne det ut sjølve?

Sannsyn

For å løyse mange av oppgåvene her, bør elevane ha arbeidd med oppgåvene under teljing.

• Kor stort er sannsynet for at tre tilfeldige kort utgjer eit sett?
  • Talet på sett/talet på moglege tre-kort kombinasjonar
    
• Kor stort er sannsynet for at tre tilfeldige kort ikkje utgjer eit sett?
  
• Kor stort er sannsynet for at fire tilfeldige kort ikkje utgjer eit sett?
  • Her bør man først finne sannsynet for at fire tilfeldige kort inneheld eit sett.
  • Det er  = 1 663 740 måtar å trekkje fire tilfeldige kort.
  • Med tre kort har me 1080 unike sett. For kvart av dei setta har med 78 kort att som me kan velje som det fjerde kortet. Det gjer 1080 x 78 = 84 240 kombinasjonar med fire kort som inneheld eitt sett.
  • Sannsynet for at fire tilfeldige kort ikkje inneheld et eit sett vert då:
    
• Kor mange sett kan me forvente blant 12 tilfeldige kort?
  • Er dei to utrekningane under det same? Kan du forklare dei?
    
• Kort stort er sannsynet for at to tilfeldige kort har alle eigenskapane ulike?
  • Trekkjer eit tilfeldig kort, til dømes: 1 raud tom diamant. Neste kort må være 2 eller 3, grøn eller blå, fylt eller stripa, squiggle eller oval. Dvs. 2 x 2 x 2 x 2 = 16 moglegheiter. Kort 2 trekkjast frå 80 kort.
    
  • Samanlikn dette sannsynet med sannsynet under teljing for talet på sett med alle eigenskapane ulike. Kva ser du?

Me ser ingen grunn til elevar på ungdomstrinnet skal kome til kort i å finne svar på oppgåvene over, då dei og kan løysast utan dei oppsette reknestykka. Ved å spille spillet fleire gonger og samanlikne resultata sine med heile klassen, kan dei kome fram til gode simuleringar som vil vere i nærleiken av dei korrekte svara. Dette gjeld spesielt for oppgåvene under sannsyn. Elles kan alle oppgåvene over gje grunnlag for gode diskusjonar elevane imellom. Nedanfor har me lagt til nokre fleire oppgåver/spørsmål som elevar godt kan diskutere og argumentere rundt (henta frå Quinn, Koca, & Weening, 1999).

Finn så mange sett som mogleg av dei 12 korta som ligg framme.
Kor mange kort må vere lagt fram for å vere sikker på å finne eit sett?
Kor mange sett, inkludert dei som passer i fleire sett er mogleg blant dei som ligg framme?
Kva er den beste strategien for å finne sett og kva for sett er lettast for deg å finne?
Kva er gjennomsnittet av talet på sett blant 12 tilfeldig valte kort?
Dersom ein eigenskap er fast, kor mange kort kan det vere utan at det er sett blant dei?
Kor mange kort kan det ligge framme utan at det er sett blant dei?
Er det mogleg at tre kort ligg att på slutten av spelet?

(Quinn, Koca, & Weening, 1999)

Då har me gitt en liten oversikt over oppgåver elevar kan arbeide med, med utgangspunkt i spelet SET. Det er skreve mange andre artiklar som har teke for seg korleis ein kan bruke spelet i skulen og/eller om matematikken som ligg i spelet. Interesserte kan ta ein titt på blant anna desse artiklane:

• Mathematics Workbook. How to use SET in the Classroom (link)
• Mathematical Fun & Challenges in the game of SET (link)
• Investigations into the Card Game SET (link)
• Developing mathematical reasoning using attribute games (link)

Til slutt vil vi avslutte med noen velvalgte ord fra Vinci (2009): "Eg anbefaler på det sterkaste lærarar til å nytte spelet SET i si undervisning for å engasjere elevane i vidare utforsking innan ulike emne...".

Referansar

Bonk, C. J. (2016). Keynote: What Is the State of E-Learning? Reflections on 30 Ways Learning Is Changing. Journal of Open, Flexible and Distance Learning, 20(2), 6-20.

Hudson, T. (2014). Best Practices for Evaluating Digital Curricula. Retrieved from http://www.dreambox.com/white-papers/importance-selecting-digital-curricula

McMahon, L. (2017). The joy of set : the many mathematical dimensions of a seemingly simple card game. In.

Quinn, A. L., Koca, R. M., Jr., & Weening, F. (1999). Developing Mathematical Reasoning Using Attribute Games. Mathematics Teacher, 92(9), 768-775.

SetEnterprisesInc. (2017). Founder and Inventor: Marsha J. Falco. Retrieved from https://www.setgame.com/founder-inventor

Utdanningsdirektoratet. (2004). Læreplan i matematikk fellesfag. Retrieved from https://www.udir.no/kl06/MAT1-04

Vinci, J. (2009). Investigations into the Card Game SET. The maximum number of sets for n cards and the total number of internal sets for all partitions of the deck. Retrieved from https://www.setgame.com/sites/default/files/teacherscorner/SETPROOF.pdf