Arven etter Maxwell i elkraftteknikken

Fysikeren Richard Feynman sier i sine «Lectures on Physics» at når menneskeheten om ti tusen år ser tilbake på det nittende århundre, vil man utvilsomt mene at den viktigste hendelsen var Maxwells oppdagelse av lovene for elektrodynamikken. Arven etter Maxwell finner vi på mange områder i dagliglivet. Lovene hans er bakgrunnen for at vi kan slå på strømmen, se på TV, surfe på Internett, snakke i telefon, høre på radio; forsåvidt også at vi kan se hverandre, selv om det ikke akkurat er Maxwells fortjeneste. Men jeg skal bare snakke om en liten del av arven etter Maxwell nemlig om hvordan man kan beregne såkalte induserte strømmer i elkraftteknikken. Fortellingen er et brev til min 15 år gamle søster.

Ole-Morten Midtgård er født i Tromsø i 1967.BR Han var ferdig uteksaminert siv.ing. ved Institutt for elkraftteknikk i 1993 og har vært ett år ved CERN (European Laboratory for Particle Physics) i Sveits. Han begynte på doktorgraden ved NTNU i 1994, og planlegger å bli ferdig før jul i år.

Kjære Sigrun!

Husker du da vi var på hytta? Vi snakket mye om det spennende prosjektet mitt doktorgraden jeg holder på med. Du ble jo ganske forvirra til slutt, så jeg har prøvd å skrive ned det jeg sa, litt systematisk, sånn at du kan forstå det bedre. Hold deg fast, vi går rett på sak.

Alle vet jo hvordan en sykkeldynamo virker. Eller kanskje ikke? Den bygger på et prinsipp som Faraday oppdaget på 1800-tallet nemlig at hvis du beveger en magnet i forhold til en lukket ledning, så vil det gå strøm i ledningen. Poenget er at hvis ledningen opplever et magnetfelt som varierer med tiden (forandrer seg), så reagerer den med å sette opp en strøm som i seg selv lager et magnetfelt som prøver å motvirke feltet fra magneten! Figuren viser prinsippet for en sykkeldynamo. Samme prinsipp benyttes også i alle kraftstasjoner. En diger dynamo som det er snakk om da, kalles gjerne en generator. All produksjon av elektrisitet i stor skala skjer på denne måten. Batterier og solcellepaneler benytter seg av andre prinsipper, men da er det ikke snakk om stor skala lengre. Skal det monne skal det gi strøm til en liten by da må vi gjøre det som vist på figuren. Uansett om vi har et vannkraftverk, gasskraftverk, kjernekraftverk, kullkraftverk eller hva det måtte være, så skjer produksjonen av selve strømmen slik. Det som varierer, er måten man får magneten til å gå rundt på. I vannkraftverk, som vi har så mange av i Norge, så er det rennende vann som driver magneten, mens i et gasskraftverk bruker man gassen til å koke vann i en trykkoker, og lar dampen fra den drive magneten rundt.

For å være litt abstrakt: Et tidsvarierende magnetfelt gir opphav til et tidsvarierende elektrisk felt (elektrisk spenning). Det er det elektriske feltet som driver strømmen gjennom ledningen. Men det artige er at prinsippet gjelder andre veien også: Det elektriske feltet (som altså var skapt av magnetfeltet), gir i seg selv opphav til et tidsvarerende magnetisk felt! Tenk et skritt videre hva skjer med det nye tidsvarierende magnetiske feltet som nettopp ble skapt? Jo, det gir igjen opphav til et tidsvarierende elektrisk felt som igjen... Det jeg egentlig snakker om nå, er stråling, det vil si forplantning av såkalte elektromagnetiske bølger (for eksempel lys!). I tilfellet med sykkeldynamoen (eller generatoren) er ikke strålingen noe å bry seg om. Det er fordi stråling krever et ekstremt hurtig varierende elektrisk felt; det forklarer Maxwells lover oss. Vi snakker om frekvenser på for eksempel 100 megahertz (100 millioner svingninger per sekund) for en vanlig radio. Det er stråling som gjør at radiosignalene kan overføres. I elkraftteknikken holder vi oss stort sett til mye lavere frekvenser, og da blir det ikke noe stråling å snakke om. Men fenomenet med induserte strømmer, som vi fikk i sykkeldynamoen, er desto viktigere.

Hele den klas-siske elektromagnetismen kan beskrives av fire matematiske ligninger, som James Clerk Maxwell sydde sammen i siste halvdel av 1800-tallet. Jeg liker dem så godt at jeg bare må skrive dem opp! Du kan ikke forstå dem sånn uten videre, men det gjør ikke noe de er fine å se på! De to første ligningene forteller stort sett det jeg forklarte over, altså at varierende magnetfelt gir varierende elektrisk felt og motsatt. Den tredje ligningen sier at elektrisk ladning gir oss et elektrisk felt, mens den siste sier at du ikke kan isolere en magnetisk pol! Det betyr at hvis du har en magnet som på figuren, med en sydpol og en nordpol, og du kutter den i to deler, så står du ikke igjen med en isolert nordpol og en isolert sydpol. Derimot får du to nye magneter med hver sin nord- og sydpol!

Det er artig at en liten, tilsynelatende unnselig ligning kan fortelle så mye. Det fine med slike matematiske uttrykk, er at de ikke bare forteller oss sånn omtrentlig hva som skjer, men nøyaktig hvordan feltene blir ligningene kvantifiserer det. De er naturlover!

Induserte strømmer

Elektromagnetisme er et stort fagområde. Den delen jeg er spesielt opptatt av i doktorgraden min, er fenomenet med induserte strømmer, og vi så over hvordan all strøm vi tar ut av stikkontaktene våre, faktisk er induserte i kraftstasjoner. Men induserte strømmer kan også være uønsket, ja direkte skadelig de kan forringe virkemåten til utstyr som ellers ville ha fungert helt fint. Problemet er at de induserte strømmene oppstår overalt der man har metall eller annet elektrisk ledende materiale i nærheten av tidsvarierende magnetfelter.

For eksempel: En transformator står normalt inni en kasse av metall fordi man trenger å ha den neddykket i olje. Men siden de elektriske strømmene som går i transformatorens ledninger, lager et tidsvarierende magnetfelt (siden vi har vekselstrøm), så betyr det at vi får induserte strømmer i metallkassa. Det ønsker vi ikke! Disse strømmene møter motstand i metallet, og bidrar derfor til å varme opp kassa. Energi går tapt, kassa er plutselig blitt en varmeovn! Man vet mye om hvordan slike effekter kan minimaliseres. Men det er stadig vanskelig å tallfeste hvor store tapene blir. Og det bør vi gjøre, for de største transformatorene er nesten store som hus, og det er jo litt dumt å bygge en sånn sak bare for å finne ut at konstruksjonen ikke holdt mål på grunn av for store tap. Maxwells ligninger gjelder alltid, og ved å løse dem kan vi finne tapene. Men problemet er at ligningene i praksis er uhyggelig vanskelige å løse.

Min doktorgrad

Og da begynner vi å nærme oss det jeg holder på med: Jeg jobber med en metode for å beregne induserte strømmer. Ved hjelp av Maxwells ligninger (de i figuren), en forenkling, og noen omskrivninger, kommer jeg frem til en såkalt partiell differensialligning. Løsningen av den gir oss de induserte strømmene. Metoden kan brukes både til å regne på uønskede og ønskede induserte strømmer den skiller ikke mellom dem for fenomenet er det samme!

Differensialligninger og endelig elementmetoden

Men hva er en differensialligning? Det er en matematisk sammenheng som sier noe om hvordan en størrelse (for eksempel et magnetfelt) endrer seg. Beskrivelsen av endringen kan være i forhold til tida eller i forhold til rommet (sted), eller begge deler. En vanlig differensialligning beskriver en endring i forhold til bare en ting, for eksempel tida. En partiell beskriver en endring i forhold til flere ting, for eksempel hvordan magnetfeltet endrer seg når vi går oppover, til siden, bortover eller frem i tid. Når man løser differensialligningen, så finner man selve magnetfeltet som endringen var beskrevet for! Maxwells ligninger er forresten selv partielle differensialligninger.

Løsningen av ligningen min gir magnetfelt og induserte strømmer. Dessverre er det veldig vanskelig, for ikke å si umulig, å finne løsningen eksakt. Men det fins en lur matematisk metode som heter endelig elementmetoden som kan brukes for å finne en tilnærmet løsning. Det er den metoden jeg bruker. Den går ut på at man deler opp det man ønsker å regne på, i små deler, omtrent som hvis man skjærer en potet opp i terninger. Så setter man opp en tilnærmelse til differensialligningen i hver del, og syr delene sammen, slik at man kan finne den totale løsningen. Tilnærmelsen jeg snakket om, går ut på at man omformer differensialligningen til et system av algebraiske ligninger. Det er for å få til det, at man må dele problemet opp i biter. Jo mindre bitene er, jo bedre blir tilnærmelsen, men jo større blir ligningssystemet vi må løse. Men i tilfelle du ikke husker hva et algebraisk ligningssystem er, Sigrun: Hvis du kjenner to tallmessige sammenhenger som gjelder de samme to størrelsene, så kan du sette opp et system av to ligninger med to ukjente. For eksempel: Jeg og du er til sammen 44 år gamle. Dessuten er jeg 14 år eldre enn deg. Hvis vi nå kaller min alder x og din y, så kan vi sette opp x + y = 44 og x - y = 14.

Det kan du lett løse, ikke sant? Sammenhengen med min doktorgrad er altså at jeg nå har omformet min differensialligning til et system av algebraiske ligninger ved hjelp av elementmetoden. Problemet er bare at jeg typisk ender opp med, la oss si, hundre tusen ligninger og ukjente, i stedet for bare to.

Programmering av datamaskin

Hvis man skal løse ligningssystemet med omtrent samme metode som man lærer på ungdomsskolen, så må man utføre omtrent N opphøyd i tredje (N3) såkalte operasjoner (for eksempel en divisjon). N er antall ukjente, som jeg sa var hundre tusen. Hundre tusen opphøyd i tredje blir så mye som en million milliarder. Å gjøre det for hånd, ville grense til kugalskap! For det første ville vi ha problemer med å finne et ark som var stort nok til å skrive ned alle tallene i systemet av ligninger. Dessuten ville det ta temmelig lang tid å utføre alle de operasjonene, så jeg kunne nok ta sikte på å overføre problemet til neste generasjon. Dessuten ville jo sjansen for å gjøre noe feil være temmelig stor, noe som ville ødelegge hele løsningen. Da ville vi måtte begynne på nytt. Nei, du skjønner nok nå at dette er en jobb for en datamaskin: vi trenger en veldig systematisk prosedyre, og det er en uhorvelig masse rutinearbeid å gjøre!

Da er vi over på neste tema i doktorgraden min: å få datamaskinen til å løse problemet! Et dataprogram er et sett med instruksjoner til datamaskinen om hva den må gjøre når den utfører akkurat det programmet. Her er programmet mitt: Som du ser, er denne beskrivelsen veldig generell, men poenget er at denne algoritmen kan gjøres mer og mer detaljert, og til slutt kommer man til det nivået som egner seg for programmering. Da skriver man i et programmeringsspråk; jeg bruker et som heter Fortran. Som et eksempel har jeg også vist Fortran-kode for å finne summen av de 100 første heltallene på en litt naiv måte.

Men før man starter å programmere, er det er lurt å tenke igjennom om datamaskinen i det hele tatt klarer å løse problemet. Den var nødt til å utføre omtrent en million milliarder operasjoner for å løse det algebraiske ligningssystemet vi fikk. En veldig kraftig datamaskin klarer kanskje å utføre en milliard operasjoner hvert sekund. I så fall ville det ta en million sekunder, eller 278 timer å løse ligningssystemet, altså nesten 12 dager. Helst ville vi redusere den tida. Det kan vi gjøre ved å bruke en lurere metode for å løse ligningssystemet, enn det dere lærer på ungdomsskolen. Matematikerne har funnet mange forskjellige metoder, og med en god nok metode klarer vi å finne løsningen på bare noen timer eller mindre.

Men det er et annet veldig vesentlig punkt: Datamaskinen trenger å lagre tallene som ligningsystemet består av. Hvert enkelt tall i ligningssystemet legger beslag på 32 bit (jeg skal snart forklare hva en «bit» er). Det er det datamaskinen behøver for å kunne representere et såkalt reelt tall («desimaltall») på en fornuftig måte. Og for at maskinen skal klare å utføre så mange operasjoner hvert sekund som vi snakket om over, bør den helst kunne ha alle tallene i sin «korttidshukommelse» (RAM random access memory) samtidig. Din PC, Sigrun, har 16 megabyte RAM. Men hva betyr nå egentlig det?

Totallsystemet

Alle datamaskiner som jeg vet om, benytter seg av totallsystemet. Det vil si at datamaskinen bare har to forskjellige sifre å bruke når den skal «skrive opp» et tall i sin hukommelse. I dagliglivet bruker vi jo titallsystemet, men det har mest å gjøre med vane (og er kanskje fordi vi har ti fingre!). Når datamaskinene bruker bare to sifre, er det fordi det er enklest å realisere rent fysisk. Fysisk representeres nemlig sifrene med elektrisk spenning, og det er lettere å skille mellom høy og lav spenning, enn ti forskjellige nivå. En enkelt spenningskilde kan derfor representere enten 0 (av) eller 1 (på), og kalles en «bit». En gruppe på 8 biter kalles for en «byte».

Husk at hvert tall som måtte lagres, la beslag på 32 bit. Det blir 4 byte. Men et ligningssystem med hundre tusen ukjente, har mer enn hundre tusen ganger hundre tusen tall! Det blir ti milliarder tall til sammen. Da trenger vi førti milliarder byte for å lagre alle tallene. Siden «mega» betyr en million, så har vi behov for 40 000 megabyte! Det er jo noe mer enn din PC sine 16, Sigrun! Faktisk er dette så mye at det ikke er realistisk for noen datamaskin. Så enten er metoden ubrukbar, eller så er det noe jeg ikke har nevnt ennå. Og det er...

Endelig elementmetodens genialitet

Først nå kommer endelig elementmetoden virkelig til sin rett: Vi delte opp området hvor vi skulle regne ut de induserte strømmene, i masse små deler («elementer»). Genialiteten til metoden ligger i at løsningen i hver del bare er «svakt koplet» til løsningen av de andre delene. Faktisk er det bare nabodelene til en gitt del som direkte påvirker den delens løsning. Konsekvensen av det er at de fleste av de tallene jeg snakket om, som måtte lagres, er null! Null trenger vi ikke lagre, for vi kan bestemme at hvis et tall ikke er lagret, så betyr det at det er null! Typisk vil bare, la oss si, 2 promille av tallene være forskjellig fra null. 2 promille av 40 000 megabyte er omtrent 80 megabyte, altså bare 5 ganger mer enn det din PC har, Sigrun. Nå er det blitt et overkommelig problem! For stort fortsatt for en vanlig PC, javel, men en moderne «ingeniørdatamaskin» klarer det. Uansett er det et tungt problem å tygge på for en hvilken som helst datamaskin, og det begrenser seg veldig fort hva vi i praksis får regnet på. Derfor er det et poeng å presse ned antall ligninger og ukjente så mye som mulig, slik at vi kan regne på desto mer realistiske problemer. Jeg jobber spesielt med en metode som er effektiv i den forstand; det er et viktig poeng i doktorgraden min.

Oppsummering

Er du trett nå, Sigrun? Hold ut, nå er det bare en liten oppsummering igjen! Min doktorgrad er tverrfaglig. Den krever at jeg forstår grunnleggende fysikk, at jeg har et øye for de elkrafttekniske anvendelsene, at jeg bruker avanserte matematiske teknikker, og at jeg klarer å implementere metoden på data. Jeg synes det er spennende!

Hilsen Ole-Morten

NTNU
Info.avd.

Ansvarlig redaktør: Informasjonsdirektør Kåre Kongsnes
Teknisk ansvarlig: aina.berg@adm.ntnu.no
Oppdatert: 27. Feb 1997