Faglig innhold

Lineære og normerte rom. Kompletthet, Banachrom og Banachs fikspunktteorem. Picards teorem. Lineære transformasjoner. Indreproduktrom, projeksjoner og Hilbertrom. Ortogonale utviklinger og approksimasjoner. Lineære funksjonaler, duale rom og Riesz' representasjonsteorem. Spektralteoremet, Jordan kanonisk form, og matrisedekomposisjoner.

Læringsutbytte

1. Kunnskap. Studenten har kunnskap om sentrale begreper i teorien om vektorrom, normerte rom og Hilbertrom. I teorien for vektorrom er hovedmålet at studenten forstår overgangen fra Euklidske rom til generelle vektorrom. Dette inkluderer forståelse av isomorfier og basiser i endeligdimensjonale vektorrom og forholdet mellom lineærtransformasjoner og matriser. Studenten er kjent med matrisefaktoriseringsprinsipper. I teorien for normerte rom er det et primært mål at studenten forstår Banachs fikspunktteorem. Dette inkluderer kunnskap om konvergens av følger og kontinuerlige funksjoner. Studenten behersker de grunnleggende begreper fra teorien for Hilbertrom, inkludert ortogonalitet, nærmeste punkt og dualitet. Studenten forstår Riesz' representasjonsteorem.

2. Ferdigheter. Studenten er i stand til å anvende sine kunnskaper om teorien for vektorrom, normerte rom og Hilbertrom til å løse konkrete problemer. En nøkkelferdighet er at studenten kan kombinere resultater og konstruere nye beviser ut fra den teorien de har tilegnet seg i kurset.

Læringsformer og aktiviteter

Forelesninger og obligatoriske øvinger.

Obligatoriske aktiviteter

• Øvinger

Anbefalte forkunnskaper

Emnene TMA4100/05/15/20 Matematikk 1/2/3/4K eller tilsvarende. Alternativt emnene MA1101 Grunnkurs i analyse I, MA1102 Grunnkurs i analyse II, MA1103 Flerdimensjonal analyse, MA1201 Lineær algebra og geometri, MA1202 Lineær algebra med anvendelser.

Kursmateriell

Oppgis ved semesterstart.

Studiepoengreduksjon