Faglig innhold

Emnet inneholder homologisk algebra for abelske kategorier generelt, og moduler over en ring. Først introduseres kategoriteori, både i sammenhengen generelle kategorier og abelske kategorier, og det diskuteres noen grunnlegende egenskaper (funktorer, naturlige transformasjoner, grenser og kogrenser, spesielt kjerner, kokjerner, pullbacks, pushouts). Kursets hoveddel er å se på deriverte funktorer, spesielt de deriverte funktorene Ext og Tor. For å kunne gjøre dette introduseres og undersøkes konseptene komplekser, homotopi, homologi, projektive og injektive oppløsninger. I diskusjonen av den første Ext-gruppen sammenlignes den med korte eksakte sekvenser (Yoneda-Ext). Til slutt introduseres triangulerte kategorier, og særlig den deriverte kategorien av en abelsk kategori, og Ext tolkes som Hom-mengde i den deriverte kategorien.

Læringsutbytte

1. Kunnskap. Studenten kjenner til grunnleggende begreper for kategorier og funktorer, spesielt funktorene Hom og tensor. Studenten kan konstruere deriverte funktorer, og er kjent med de deriverte funktorene Ext og Tor. Videre vet studenten hvordan den deriverte kategorien konstrueres, og hvordan Ext kan tolkes i denne kategorien.

2. Ferdigheter. Studenten kan lese, diskutere, og skrive argumenter med bruk av kategorispråket. Gitt en høyreeksakt (eller venstreeksakt) funktor mellom abelske kategorier med nok projektive (injektive), kan studenten konstruere de venstrederiverte (høyrederiverte) funktorene, og tolke hva disse betyr for hvor eksakt funktoren er.

Læringsformer og aktiviteter

Forelesninger. Foreleseren kan gi øvingsoppgaver (som ikke er obligatoriske, men anbefalt) for å øve bruk av kursets konsepter.

Anbefalte forkunnskaper

Mens ingen spesifikke resultater fra disse kurs er nødvendig, er det hjelpsomt å ha tatt (eller å ta samtidig) et eller flere andre kurs i algebra eller (algebraisk) topologi, som for eksempel MA3202 Galoisteori, MA3203 Ringteori, MA3403 Algebraisk topologi I.

Forkunnskapskrav

Deltakere bør ha erfaring med å jobbe med moduler over ringer, vite hva en modul og en modulhomomorfi er, og helst også hva kjerne, kokjerne, og bildet av en modulhomomorfi er.En mulighet for å skaffe seg disse kunnskaper er deltakelse i kurset MA3201 Ringer og moduler.

Kursmateriell

Oppgis ved kursets start.

Studiepoengreduksjon